Cho : \(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}=1\). Tính A=\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
Những câu hỏi liên quan
Tìm x, y, z
dfrac{x+y+2}{z}dfrac{y+z+1}{x}dfrac{z+x-3}{y}dfrac{1}{x+y+z}
Áp dụng tích chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
dfrac{x+y+2}{z}dfrac{y+z+1}{x}dfrac{z+x-3}{y}
dfrac{x+y+2+y+z+1+z+x-3}{z+x+y}dfrac{2left(x+y+zright)+left(1+2-3right)}{z+x+y}2
Vìdfrac{x+y+2}{z}dfrac{y+z+1}{x}dfrac{z+x-3}{y}dfrac{1}{x+y+z}
2dfrac{1}{x+y+z}2left(x+y+zright)1x+y+zdfrac{1}{2}
dfrac{x+y+2}{z}2x+y+22z
dfrac{y+z+1}{x}2y+z+12x
dfrac{z+x-3}{y}2z+x-32y
dfrac{1}{x+y+z}2x+y+zdfrac{1}{2}
+) x+y+z dfrac{1}{2}y+zdfra...
Đọc tiếp
Tìm x, y, z
\(\dfrac{x+y+2}{z}=\dfrac{y+z+1}{x}=\dfrac{z+x-3}{y}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
Áp dụng tích chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có
\(\dfrac{x+y+2}{z}=\dfrac{y+z+1}{x}=\dfrac{z+x-3}{y}\\ =\dfrac{x+y+2+y+z+1+z+x-3}{z+x+y}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)+\left(1+2-3\right)}{z+x+y}=2\\ Vì\dfrac{x+y+2}{z}=\dfrac{y+z+1}{x}=\dfrac{z+x-3}{y}=\dfrac{1}{x+y+z}\\ =>2=\dfrac{1}{x+y+z}=>2\left(x+y+z\right)=1=>x+y+z=\dfrac{1}{2}\\ =>\dfrac{x+y+2}{z}=2=>x+y+2=2z\\ \dfrac{y+z+1}{x}=2=>y+z+1=2x\\ \dfrac{z+x-3}{y}=2=>z+x-3=2y\\ \dfrac{1}{x+y+z}=2=>x+y+z=\dfrac{1}{2}\)
+) x+y+z = \(\dfrac{1}{2}=>y+z=\dfrac{1}{2}-x=>\dfrac{1}{2}-x+1=2x=>3x=\dfrac{3}{2}=>x=\dfrac{1}{2}\)
+)\(x+y+z=\dfrac{1}{2}=>x+y=\dfrac{1}{2}-z=>\dfrac{1}{2}-z+2=2z=>3z=\dfrac{5}{2}=>z=\dfrac{5}{6}\)
\(=>x+y+z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}+y=\dfrac{1}{2}=>\dfrac{4}{3}+y=\dfrac{1}{2}=>y=\dfrac{-5}{6}\)
Vậy \(x=\dfrac{1}{2}\\ y=\dfrac{-5}{6}\\ z=\dfrac{5}{6}\)
Ê mấy bọn 7B Nguyễn Lương Bằng ơi bài 2 Toán chiều làm thế này đúng chưa! Góp ý nha!
Xem thêm câu trả lời
cho các số x,y,z thoả mãn \(\dfrac{x}{y-z}+\dfrac{y}{z-x}+\dfrac{z}{x-y}=0\)
tính giá trị biểu thức A=\(\dfrac{x}{\left(y-z\right)^2}+\dfrac{y}{\left(z-x\right)^2}+\dfrac{z}{\left(x-y\right)^2}\)
Lời giải:
\(A=\left(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}\right)\left(\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}+\frac{1}{x-y}\right)-\frac{x}{(y-z)(z-x)}-\frac{x}{(y-z)(x-y)}-\frac{y}{(z-x)(x-y)}-\frac{y}{(z-x)(y-z)}-\frac{z}{(x-y)(y-z)}-\frac{z}{(x-y)(z-x)}\)
\(=0-\frac{x(x-y)+x(z-x)+y(y-z)+y(x-y)+z(z-x)+z(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}\)
\(=0-\frac{x^2+xz+y^2+xy+z^2+zy-(xy+x^2+yz+y^2+zx+z^2)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0-\frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0\)
Đúng 0
Bình luận (0)
dfrac{x^2}{y+z}+dfrac{y^2}{z+x}+dfrac{z^2}{x+y}
do x,y,z≥0 nên x2≥0 , y+z≥0
áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương dfrac{x^2}{y+z} và y+z/4
x^2/y+z +(y+z)/4≥2sqrt{dfrac{x^2}{y+z}.dfrac{left(y+zright)}{4}} x (1)
y^2/x+z+(x+z)/4≥2sqrt{dfrac{y^2}{x+z}.dfrac{x+z}{4}} y (2)
z^2/y+x+(y+x)/4≥2sqrt{dfrac{z^2}{y+x}.dfrac{y+x}{4}} z (3)
từ (1)(2)(3)
➜dfrac{x^2}{y+z}+dfrac{y^2}{z+x}+dfrac{z^2}{x+y}+(y+z/4)+(z+x)/4+(x+y)/4 ≥ x+y+z
⇔dfrac{x^2}{y+z}+dfrac{y^2}{z+x}+dfrac{z^2}{x+y} +(a+b+c)/2 ≥x+...
Đọc tiếp
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
do x,y,z≥0 nên x2≥0 , y+z≥0
áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương \(\dfrac{x^2}{y+z}\) và y+z/4
x^2/y+z +(y+z)/4≥2\(\sqrt{\dfrac{x^2}{y+z}.\dfrac{\left(y+z\right)}{4}}\) =x (1)
y^2/x+z+(x+z)/4≥2\(\sqrt{\dfrac{y^2}{x+z}.\dfrac{x+z}{4}}\) =y (2)
z^2/y+x+(y+x)/4≥2\(\sqrt{\dfrac{z^2}{y+x}.\dfrac{y+x}{4}}\) =z (3)
từ (1)(2)(3)
➜\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)+(y+z/4)+(z+x)/4+(x+y)/4 ≥ x+y+z
⇔\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\) +(a+b+c)/2 ≥x+y+z
⇔\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\) ≥ (x+y+z)/2
⇔\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\) ≥1 (vì x+y+z=2)
vậy giá trị nhỏ nhất của \(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\) =1
Nham ko phai Nesbit, Cauchy-Schwarz ra luon
Đúng 0
Bình luận (1)
25 tháng 9 2021 lúc 20:18
1) Rút gọn bt:
(x+y+z)3+(x-y-z)3+(y-x-z)3+(z-y-x)3
2)Tìm x,y,z t/m: 9x2+y2+2z2-18x+4z-6y+20=0
3)Cho \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\)=1 và \(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\)=0 . CMR:
\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\)=1
22 tháng 1 2022 lúc 10:12
CMR: Nếu \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\)=1 và\(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}\)=0 thì\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\)=1
Cho x+y+z=0 và x,y,z khác 0. Tính:
a) \(M=\dfrac{x^2}{x^2-y^2-z^2}+\dfrac{x^2}{y^2-x^2-z^2}+\dfrac{z^2}{z^2-y^2-x^2}\)
b) \(N=\dfrac{1}{x^2+y^2-z^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2-x^2}+\dfrac{1}{z^2+x^2-y^2}\)
Câu hỏi của Hoàng Liên - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath Em tham khảo tại link này nhé !
Đúng 0
Bình luận (0)
CHO X,Y,Z LÀ 3 số dương thoả mãn\(\dfrac{1}{x}\)+\(\dfrac{1}{y}\)+\(\dfrac{1}{z}\)=2016
tìm GTLN của P=\(\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\)+\(\dfrac{y+z}{y^2+z^2}\)+\(\dfrac{z+x}{z^2+x^2}\)
* Có BĐT : \(\dfrac{4}{x+y}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với $x,y>0$ ( Chứng minh bằng xét hiệu )
Ta có BĐT : \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\le\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{2}{x+y}\)
Chứng minh tương tự khi đó :
\(P\le\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{y+z}+\dfrac{2}{z+x}\)
\(\Rightarrow2P\le\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=2.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=4032\)
\(\Rightarrow P\le2016\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho \(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+z}+\dfrac{z}{x+y}=1\)
Tính \(A=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
từ giả thiết ta có \(\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right).\left(x+y+z\right)=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{x\left(y+z\right)}{y+z}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{x\left(y+z\right)}{y+z}+\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{z\left(x+y\right)}{x+y}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}+x+y+z=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=0\)
Đúng 0
Bình luận (5)
Xem thêm câu trả lời
Đặt $ X a - b; Y b - c; Z c - a Rightarrow X + Y + Z 0$Với X + Y + Z 0, ta chứng minh được :$ ( dfrac{1}{X} + dfrac{1}{Y} + dfrac{1}{Z} )^2 dfrac{1}{X^2} + dfrac{1}{Y^2} + dfrac{1}{Z^2}$Thật vậy, ta có :$ ( dfrac{1}{X} + dfrac{1}{Y} + dfrac{1}{Z} )^2 dfrac{1}{X^2} + dfrac{1}{Y^2} + dfrac{1}{Z^2} + dfrac{2}{XY} + dfrac{2}{YZ} + dfrac{2}{ZX}$$ dfrac{1}{X^2} + dfrac{1}{Y^2} + dfrac{1}{Z^2} + 2.dfrac{X + Y + Z}{XYZ}$$ dfrac{1}{X^2} + dfrac{1}{Y^2} + dfrac{1}{Z^2}$ ( do X + Y + Z 0)$ Righta...
Đọc tiếp
Đặt $ X = a - b; Y = b - c; Z = c - a \Rightarrow X + Y + Z = 0$
Với X + Y + Z = 0, ta chứng minh được :
$ ( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$
Thật vậy, ta có :
$ ( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2 = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + \dfrac{2}{XY} + \dfrac{2}{YZ} + \dfrac{2}{ZX}$
$ = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2} + 2.\dfrac{X + Y + Z}{XYZ}$
$ = \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}$ ( do X + Y + Z = 0)
$ \Rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{X^2} + \dfrac{1}{Y^2} + \dfrac{1}{Z^2}} = \sqrt{( \dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z} )^2} = |\dfrac{1}{X} + \dfrac{1}{Y} + \dfrac{1}{Z}|$
Suy ra : $ \sqrt{\dfrac{1}{(a - b)^2} + \dfrac{1}{(b - c)^2} +\dfrac{1}{( c - a)^2}} = |\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$
Do a, b, c là số hữu tỷ nên $|\dfrac{1}{a - b} + \dfrac{1}{b - c} + \dfrac{1}{c - a}|$ cũng là số hữu tỷ. Ta có điều phải chứng minh.
