Cho phương trình \(x^2-3mx-m=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)
Tìm GTNN \(A=\dfrac{m^2}{x_2^2+3mx_1+3m}+\dfrac{x_1^2+3mx_2+3m}{m^2}\)
Cho phương trình \(x^2-4mx+3m^2-3=0\)
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)thỏa mãn \(\left|\dfrac{x_1+x_2+4}{x_1+x_2}\right|\)đặt Max
Đề bài sai bạn
Biểu thức \(\left|\dfrac{x_1+x_2+4}{x_1+x_2}\right|=\left|1+\dfrac{1}{m}\right|\) này ko tồn tại max, chỉ tồn tại min
Cho 2 phương trình ẩn x : \(x^2+\left(m-3\right)x-2m^2+3m=0\).Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x\(_1\) ;x\(_2\) thỏa mãn \(\dfrac{x_1.x_2}{x_1+x_3}\)=\(-\dfrac{m^2}{2}\)
Sửa đề: \(\dfrac{x_1x_2}{x_1+x_2}=-\dfrac{m^2}{2}\)
PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2+4\left(2m^2-3m\right)>0\\ \Leftrightarrow9m^2-18m+9>0\\ \Leftrightarrow9\left(m-1\right)^2>0\left(\text{luôn đúng},\forall m\ne1\right)\)
Do đó PT có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\ne1\)
Áp dụng Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3-m\\x_1x_2=3m-2m^2\end{matrix}\right.\)
Ta có \(\dfrac{x_1x_2}{x_1+x_2}=-\dfrac{m^2}{2}\Leftrightarrow\dfrac{3m-2m^2}{3-m}=-\dfrac{m^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow4m^2-12m=3m^2-m^3\\ \Leftrightarrow m^3+m^2-12m=0\\ \Leftrightarrow m\left(m^2+4m-3m-12\right)=0\\ \Leftrightarrow m\left(m+4\right)\left(m-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-4\\m=3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-4\\m=3\end{matrix}\right.\) thỏa yêu cầu đề
Cho phươnh trình \(x^2-2\left(m-1\right)x^2+m^2-3m=0\)
a. Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)
b. Tìm GTNN của biểu thức B = \(x_1^2+x_2^2+7\)
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m^2-3m\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m+1\ge0\Rightarrow m\ge1\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=m^2-3m\end{matrix}\right.\)
\(B=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+7\)
\(B=\left(2m-2\right)^2-2\left(m^2-3m\right)+7\)
\(B=2m^2-2m+11\)
\(B=2m\left(m-1\right)+11\ge11\)
\(B_{min}=11\) khi \(m=1\)
cho phương trình:\(^{x^2-2x+3m=0}\) Tìm m để phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^2x_2^2=x_1+x_2+7\)
Để phương trình có 2 nghiệm
\(\Delta'\ge0\Rightarrow\left(-1\right)^2-1.3m\ge0\Leftrightarrow1-3m\ge0\Leftrightarrow1\ge3m\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\ge m\)
Theo hệ thức Vi-et ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-\left(-2\right)}{1}=2\\x_1x_2=\dfrac{3m}{1}=3m\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(x_1^2x_2^2=x_1+x_2+7\\ \Leftrightarrow x_1x_2.x_1x_2=x_1+x_2+7\\ \Rightarrow3m.3m=2+7\\ \Leftrightarrow9m^2-9=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\left(tm\right)\\m=1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy m = -1
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-3=0\)
a, Tìm m để hai nghiệm \(x_1,x_2\) của phương trình thỏa mãn đẳng thức \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{1}{x_1x_2}=3\)
\(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m^2-3\right)\)
\(=4m^2+8m+4-4m^2+12=8m+16\)
Để phương trình có hai nghiệm thì 8m+16>=0
hay m>=-2
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)
Theo đề, ta có: \(x_1^2+x_2^2+1=3x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-5\left(m^2-3\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-5m^2+15+1=0\)
\(\Leftrightarrow-m^2+8m+20=0\)
=>(m-10)(m+2)=0
=>m=10 hoặc m=-2
a, \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2-3\right)=m^2+2m+1-m^2+3=2m+4\)
Để pt có 2 nghiệm x1 ; x2 khi \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge-2\)
Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{1}{x_1x_2}=3\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+1}{x_1x_2}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(m^2+2m+1\right)-2\left(m^2-3\right)+1}{m^2-3}=3\)
\(\Rightarrow2m^2+8m+11=3m^2-9\Leftrightarrow m^2-8m-20=0\Leftrightarrow m=10;m=-2\)(tm)
Cho phương trình: x\(^2\) - 2(m-1)x + m - 3 = 0.
1, Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm \(x_1\), \(x_2\) với mọi giá trị của m.
2, Tìm m để: \(\dfrac{x_1}{x_2}\) + \(\dfrac{x_2}{x_1}\) = \(x_1\).\(x_2\)
1: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(m-3\right)\)
\(=4m^2-8m+4-4m+12\)
\(=4m^2-12m+16\)
\(=\left(2m-3\right)^2+7>0\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
2: Theo vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=\left(m-3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)^2-2\left(m-3\right)-\left(m-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-16m+4-2m+6-m^2+6m-9=0\)
\(\Leftrightarrow3m^2-12m+1=0\)
\(\text{Δ}=\left(-12\right)^2-4\cdot3\cdot1=144-12=132>0\)
Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{12-2\sqrt{33}}{6}=\dfrac{6-\sqrt{33}}{3}\\x_2=\dfrac{6+\sqrt{33}}{3}\end{matrix}\right.\)
\(x^2-2mx-m^2-1=0\) (1)
a) Giải phương trình (1) khi `m = 2`
b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình (1) có 2 nghiệm \(X_1;X_2\) thỏa mãn:
\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=-\dfrac{5}{2}\)
(a) Khi \(m=2,\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-4x-5=0\left(2\right)\).
Phương trình (2) có \(a-b+c=1-\left(-4\right)+\left(-5\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-\dfrac{c}{a}=5\end{matrix}\right.\).
Vậy: Khi \(m=2,S=\left\{-1;5\right\}\).
(b) Điều kiện: \(x_1,x_2\ne0\Rightarrow m\in R\)
Phương trình có nghiệm khi:
\(\Delta'=\left(-m\right)^2-1\cdot\left(-m^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2m^2+1\ge0\left(LĐ\right)\)
Suy ra, phương trình (1) có nghiệm với mọi \(m\).
Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m^2-1\end{matrix}\right.\)
Theo đề: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=-\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(2m\right)^2+\left(-m^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow7m^2=1\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{7}\) (thỏa mãn).
Vậy: \(m=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{7}.\)
Cho phương trình :
\(x^2-2\left(m+2\right)x+m^2+m+3=0\)
a.giải phương trình khi m = 0
b.tìm m để phương trình có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)
a, bạn tự làm
b, \(\Delta'=\left(m+2\right)^2-\left(m^2+m+3\right)=m^2+4m+4-m^2-m-3\)
\(=3m+1\)để pt có 2 nghiệm \(m\ge-\dfrac{1}{3}\)
Ta có \(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=4\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2=0\)
\(\Rightarrow4\left(m+2\right)^2-6\left(m^2+m+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2+16m+16-6m^2-6m-18=0\)
\(\Leftrightarrow-2m^2+10m-2=0\Leftrightarrow m^2-5m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}\)(tm)
tìm m để phương trình \(x^{2+}2\left(m-1\right)x+3m-2=0\) có 2 nghiệm trái dấu x1, x2 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x_1}-3=\left|\dfrac{1}{x_2}\right|\)
Để pt có 2 nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow3m-2< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{2}{3}\)
Nếu \(x_1< 0\) thì \(\dfrac{1}{x_1}-3< 0\) trong khi \(\left|\dfrac{1}{x_2}\right|>0\Rightarrow\) không thỏa mãn
Vậy \(x_1>0;x_2< 0\)
Do đó:
\(\dfrac{1}{x_1}-3=\left|\dfrac{1}{x_2}\right|=-\dfrac{1}{x_2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=3\Leftrightarrow x_1+x_2-3x_1x_2=0\)
\(\Leftrightarrow-2\left(m-1\right)-3\left(3m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m=...\)