Cho a , b , c dương

CMR \(\left(1+\dfrac{1}{a}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{b}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{3}{2+abc}\right)^4\)

Cho phương trình \(x^2-3mx-m=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)

Tìm GTNN \(A=\dfrac{m^2}{x_2^2+3mx_1+3m}+\dfrac{x_1^2+3mx_2+3m}{m^2}\)

Cho n số thực dương \(a_1,a_2,..,a_n\) có tổng bằng 1

Chứng minh rằng \(\dfrac{a_1}{2-a_1}+\dfrac{a_2}{2-a_2}+...+\dfrac{a_n}{2-a_n}\ge\dfrac{n}{2n-1}\)

Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn \(a+b+c=3\)

Chứng minh rằng \(\dfrac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\dfrac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\dfrac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\ge\dfrac{3}{2}\)

Cho các số thực dương a , b , c

Chứng minh rằng \(\dfrac{bc}{2a+b+c}+\dfrac{ca}{a+2b+c}+\dfrac{ab}{a+b+2c}\le\dfrac{a+b+c}{4}\)

Cho a , b , c , d là các số thực không âm thỏa mãn

\(\left(a+b+c\right)\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)\left(d+a+b\right)>0\)

Chứng minh rằng \(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\ge2\)

Cho số dương a , b , c thỏa mãn \(a+b+c=3\)

Chứng minh rằng \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)

Cho 3 số thực dương a , b , c

Chứng minh rằng \(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge a+b+c\)

Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)

Chứng minh rằng \(\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\ge\frac{1}{30}\)

Cho x , y , z , t là các số thực dương

Chứng minh rằng \(\frac{x^3}{x^3+3yzt}+\frac{y^3}{y^3+3xtz}+\frac{z^3}{z^3+3xyt}+\frac{t^3}{t^3+3xyz}\ge1\)