\(\sqrt{2018^2+2018^2.2019^2+2019^2}=\sqrt{2018^2+\left(2019-1\right)^2.2019^2+2019^2}=\sqrt{2018^2+2019^4-2.2019.2019^2+2019^2+2019^2}=\sqrt{2019^4+2.2019^2-2.\left(2018+1\right).2019^2+2018^2}=\sqrt{2019^4+2.2019^2-2.2019.2019^2-2.2019^2+2018^2}=\sqrt{2019^4-2.2018.2019^2+2018^2}=\sqrt{\left(2019^2-2018\right)^2}=\left|2019^2-2018\right|=2019^2-2018\)Vì \(2019^2-2018\) là một số nguyên

Vậy \(\sqrt{2018^2+2018^2.2019^2+2019^2}\) là một số nguyên

TQ: \(^{\sqrt{a^2+a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2}}=\left(a+1\right)^2-a.\)

Thật vậy ta có: \(a^2+a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2=a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)

\(\left(\left(a+1\right)^2-a\right)^2=\left(a^2+a+1\right)^2=a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)

\(\frac{2019}{\sqrt{2018}}+\frac{2018}{\sqrt{2019}}\ge\frac{\left(\sqrt{2019}+\sqrt{2018}\right)^2}{\sqrt{2018}+\sqrt{2019}}=\sqrt{2018}+\sqrt{2019}\)

Dấu "=" ko xảy ra nên \(\frac{2019}{\sqrt{2018}}+\frac{2018}{\sqrt{2019}}>\sqrt{2018}+\sqrt{2019}\)

Căn bậc 2 của 1 là 1,của 2018 bình phương là 2018,2018 bình phương/2019 bình phương là 2018/2019 nên cái căn đó có giá trị là 1+2018+2018/2019 nha.bn lấy 2018/2019+2018/2019 nếu là số tự nhiên thì biểu thức này là STN

\(\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{\left(1+2.2018+2018^2\right)-2.2018+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{2019^2-2.2018+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\sqrt{\left(2019-\frac{2018}{2019}\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(=\)\(\left|2019-\frac{2018}{2019}\right|+\frac{2018}{2019}=2019-\frac{2018}{2019}+\frac{2018}{2019}=2019\)

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\) là số tự nhiên ( đpcm ) 

... 

:v nãy giải xong thì bị lỗi please signing gì đó...(giải rất kĩ càng,lần này ko giải kĩ nx  -_-)

Đặt a = 2018 -> 2019 = a + 1..

Gọi biểu thức trên là A.Quy đồng biểu thức trong căn và rút gọn,ta được:

\(A=\sqrt{\frac{a^4+2a^3+3a^2+2a+1}{\left(a+1\right)^2}}+\frac{a}{a+1}\)

Đặt \(B=a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)

\(=a^2\left(a^2+2a+3+\frac{2}{a}+\frac{1}{a^2}\right)\)

\(=a^2\left[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+2\left(a+\frac{1}{a}\right)+1\right]\)

\(=\left[a\left(a+\frac{1}{a}+1\right)\right]^2\) (Làm tắt xíu nhé)

Suy ra \(A=\frac{\left(a+\frac{1}{a}+1\right)a}{\left(a+1\right)}+\frac{a}{a+1}=\frac{a^2+2a+1}{a+1}=\frac{\left(a+1\right)^2}{a+1}=a+1=2019\)

Là số tự nhiên.(đpcm)

\(a^2+a^2(a+1)^2+(a+1)^2 \\=a^4+2a^3+3a^2+2a+1 \\=(a^2+a+1)^2 \) 

Thay a = 2018 ta được A chính phương.

\(B=\sqrt{\frac{2019^2}{2019^2}+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\frac{\left(2018+1\right)^2}{2019^2}+\frac{2018^2}{2019^2}+2018^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\frac{1}{2019^2}+\frac{2018^2+2.2018+2018^2}{2019^2}+2018^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\frac{1}{2019^2}+2.2018.\frac{1}{2019}+2018^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(\frac{1}{2019}+2018\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\frac{1}{2019}+2018+\frac{2018}{2019}=2019\) là một số tự nhiên

\(B=\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{1^2+2018^2+\left(-\frac{2018}{2019}\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(1+2018-\frac{2018}{2019}\right)^2+2.\frac{2018}{2019}+2.\frac{2018^2}{2019}-2.2018}\)\(+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(1+2018-\frac{2018}{2019}\right)^2+2\left(\frac{2018+2018.2018-2018.2019}{2019}\right)}\)\(+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(1+2018-\frac{2018}{2019}\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=1+2018-\frac{2018}{2019}+\frac{2018}{2019}=2019\)

Vậy B có giá trị là 1 số tự nhiên.

Akai Haruma Nguyễn Thanh Hằng Nguyễn Thị Ngọc Thơ

2/3A=2/3-(2/3)^2+...+(2/3)^2019-(2/3)^2020

=>5/3A=1-(2/3)^2020

=>A=(3^2020-2^2020)/3^2020:5/3=\(\dfrac{3^{2020}-2^{2020}}{3^{2020}}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{3^{2020}-2^{2020}}{5\cdot3^{2019}}\) ko là số nguyên

Đề là gì vậy bạn !