Vì A, B, C là ba góc của tam giác nên ta có : A + B + C = π.

⇒ C = π - (A + B); A + B = π - C

a) Ta có: tan A + tan B + tan C = (tan A + tan B) + tan C

= tan (A + B). (1 – tan A.tan B) + tan C

= tan (π – C).(1 – tan A. tan B) + tan C

= -tan C.(1 – tan A. tan B) + tan C

= -tan C + tan A. tan B. tan C + tan C

= tan A. tan B. tan C

b) sin 2A + sin 2B + sin 2C

= 2. sin (A + B). cos (A – B) + 2.sin C. cos C

= 2. sin (π – C). cos (A – B) + 2.sin C. cos (π – (A + B))

= 2.sin C. cos (A – B) - 2.sin C. cos (A + B)

= 2.sin C.[cos (A – B) - cos (A + B)]

= 2.sin C.[-2sinA. sin(- B)]

= 2.sin C. 2.sin A. sin B ( vì sin(- B)= - sinB )

= 4. sin A. sin B. sin C

Lời giải:

Ta có:

$\sin 2A+\sin 2B=2\sin \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2}=2\sin (A+B)\cos (A-B)$

$=2\sin (\pi -C)\cos (A-B)=2\sin C\cos (A-B) $

Do đó:

$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\sin 2C+2\sin C\cos (A-B)=2\sin C\cos C+2\sin C\cos (A-B)$

$=2\sin C[\cos C+\cos (A-B)]=2\sin C[\cos (\pi -A-B)+\cos (A-B)]$

$=2\sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B)]=-2.\sin C[\cos (A+B)-\cos (A-B)]$

$=-2\sin C. (-2).\sin \frac{(A+B)+(A-B)}{2}.\sin \frac{(A+B)-(A-B)}{2}=4\sin C.\sin A.\sin B$

Ta có đpcm.

\(cos2A+cos2B+cos2C=2cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+2cos^2C-1\)

\(=-2cosC.cos\left(A-B\right)+2cos^2C-1\)

\(=-2cosC\left[cos\left(A-B\right)-cosC\right]-1\)

\(=-2cosC\left[cos\left(A-B\right)+cos\left(A+B\right)\right]-1\)

\(=-4cosC.cosA.cosB-1\)

\(sin2A+sin2B+sin2C=2sin\left(A+B\right)cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC\)

\(=2sinC.cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC\)

\(=2sinC\left[cos\left(A-B\right)+cosC\right]=2sinC\left[cos\left(A-B\right)-cos\left(A+B\right)\right]\)

\(=-4sinC.sinA.sin\left(-B\right)=4sinA.sinB.sinC\)

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)(Định lý Pytago)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\Rightarrow AC=8\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{25}{576}\Rightarrow AH=\dfrac{24}{5}\left(cm\right)\)

Xét tứ giác AEHF có:

\(\widehat{AEH}=\widehat{EAF}=\widehat{AFH}=90^0\)

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

=> \(EF=AH=\dfrac{24}{5}\left(cm\right)\)

b) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác ABH và tam giác AHC vuông tại H:

\(AH^2=AE.AB\)

\(AH^2=AF.AC\)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=10^2-6^2=64\)

hay AC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

hay AH=4,8(cm)

Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{EAF}=\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

Suy ra: AH=EF

hay FE=4,8(cm)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

Lê Hà Phương