đề hình như sai

Ta có BĐT cần chứng minh 

\(\Leftrightarrow a^6+b^6+ab\left(a^4+b^4\right)\ge a^6+b^6+a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow ab\left(a^4+b^4\right)\ge ab\left(a^3b+ab^3\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)

...

Tớ vừa sửa đề rồi nha cậu :V

Cậu làm giùm tớ câu tớ vừa sửa nhé !! 

K áp dụng BĐT ạ

Mình thử nha :33

BĐT cần chứng minh \(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^4-2c^2d^2+d^4\right)+2\left(a^2b^2-4abcd+c^2d^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Vậy ta có BĐT cần chứng minh đúng

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d\)

Bổ sung ĐK : a , b , c , d dương

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 4abcd

Áp dụng BĐT Cô - si : x⁴ + y⁴ ≥ 2x²y² ( x > 0 ; y > 0 )

Ta có : a⁴ + b⁴ ≥ 2a²b² ( 1)

b⁴ + c⁴ ≥ 2b²c² ( 2)

c⁴ + d⁴ ≥ 2c²d² ( 3)

a⁴ + d⁴ ≥ 2a²d² ( 4)

Từ ( 1; 2; 3; 4) ⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ a²b² + b²c² + c²d² + a²d² (***)

Lại Áp dụng BĐT Cô - si : x² + y² ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0 )

Ta có : a²b² + c²d² ≥ 2abcd ( *)

a²d² + b²c² ≥ 2abcd ( ** )

Từ : ( * ; ** ; ***) ⇒ đpcm

đề bài lạ nhỉ đáng lẽ phải là \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) chứ nhỉ

\(a^4+b^4+c^4+d^4\Rightarrow4\sqrt{4\left(a^4.b^4.c^4.d^4\right)}=4abcd\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d\)

Dùng cosi

\(a^2+b^2+c^2+d^2+4\ge2\left(a+b+c+d\right)\)

\(a^2+b^2+c^2+d^2+4-2\left(a+b+c+d\right)\ge0\)

\(a^2+b^2+c^2+d^2+4-2a-2b-2c-2d\ge0\)

\(\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)+\left(d^2-2d+1\right)\ge0\)

\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2+\left(d-1\right)^2\ge0\)

Bất đẳng thức trên đúng với mọi a; b; c; d

=> bất đẳng thức được chứng minh

(a^2+b^2)/2>=ab

<=>(a^2+b^2)>=2ab

 <=> a^2+2ab+b^2>=2ab 

<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)

=> điều phải chứng minh.

Xét hiệu:  \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)

=>  \(a^2+b^2\ge2ab\)

Dấu "=" xra  <=>  a = b

Áp dụng ta có:

a)  \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)

dấu "=" xra  <=>  a = b = c = 1

b)  \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)

Dấu "=" xra  <=>  a = b= c = d = 2

a) Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\hept{\begin{cases}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{cases}}\)

nhân theo 3 vế BDDT ta đc:

( a^2+1) (b^2+1)(c^2+1) >= 2a.2b.2c = 8abc

"=" <=> a=b=c

a ) Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge2ab\) cho các cặp số thực , ta có :

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

b ) Làm tương tự như a )

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

a) Lại có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\)

cmtt \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)

Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\left(dpcm\right)\)

b) Tiếp tục có \(\left(a-2\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)

CMTT: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+4\ge4b\\c^2+4\ge4c\end{matrix}\right.\)

Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\ge4a.4b.4c=256abc\left(dpcm\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3>=0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\left(a^2+ab+b^2\right)>=0\)(luôn đúng)

\(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\right)^2=\frac{1}{27}\left(a+b+c\right)^4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)