Xác định a, b để f(x) chia hết cho g(x):
\(f_{\left(x\right)}=6x^4-7x^3+ax^2+3x+2\)
\(g_{\left(x\right)}=x^2-x+b\)
Cho \(f\left(x\right)=6x^4-7x^3+ax^2+3x+2\) và \(g\left(x\right)=x^2-x+b\).Xác định a,b để f(x) chia hết cho g(x)
Đặt tính chia tìm thương và dư của f(x) cho g(x) ta được:
\(f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot\left(6x^2-x+a-6b-1\right)+\left[\left(a-5b+2\right)+\left(6b^2+b-ab+2\right)\right]\)
Vậy để f(x) chia hết cho g(x) thì dư phải bằng 0, khi đó:
\(\hept{\begin{cases}a-5b+2=0\\6b^2+b-ab+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5b-2\\6b^2+b-b\left(5b-2\right)+2=0\Rightarrow b^2+3b+2=0\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=-1\Rightarrow a=-7\\b=-2\Rightarrow a=-12\end{cases}}\)
Vậy các giá trị cần xác định của a, b để f(x) chia hết cho g(x) là (a;b) = (-7;-1) , (-12;-2)
Tìm a;b để :
a) \(f_{\left(x\right)}=x^3+\:ax^2+2x+b⋮g_{\left(x\right)}=x^2+2x+3\)
\(\text{b) }f_{\left(x\right)}=x^4-3x^3+3x^2+ax+b⋮g_{\left(x\right)}=x^2-3x+4\)
\(\text{c) }x^4-3x^3+bx^2+ax+b⋮x^2-1\)
Yêu cầu: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Tuy nhiên câu c không bắt buộc.
a) Do đa thức bị chia có bậc 3
đa thức chia có bậc 2
nên đa thức thương là nhị thức bậc nhất.
\(\Rightarrow\) Hạng tử bậc nhất: \(x^3:x^2=x\)
\(Đặt\text{ }đa\text{ }thức\text{ }thương\text{ }là:x+c\\ \RightarrowĐể\text{ }f_{\left(x\right)}⋮g_{\left(x\right)}\\ thì\Rightarrow x^3\: +ax^2+2x+b=\left(x^2+2x+3\right)\left(x+c\right)\\ =x^3+2x^2+3x+cx^2+2cx+3c\\ =x^3+\left(c+2\right)x^2+\left(2c+3\right)x+3c\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c+2=a\\2c+3=2\\3c=b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=c+2\\c=-\dfrac{1}{2}\\b=3c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\b=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\\ Vậy\text{ }để\text{ }f_{\left(x\right)}⋮g_{\left(x\right)}\text{ }thì\text{ }a=\dfrac{3}{2};b=-\dfrac{3}{2}\)
b) Do đa thức bị chia có bậc 4
đa thức chia có bậc 2
nên đa thức thương là tam thức 2
\(\Rightarrow\) Hạng tử bậc 2: \(x^4:x^2=x^2\)
\(\RightarrowĐể\text{ }f_{\left(x\right)}⋮g_{\left(x\right)}\\ thì\Rightarrow x^4-3x^3+3x^2+ax+b=\left(x^2-3x+4\right)\left(x^2+cx+d\right)\\ =x^4+cx^3+dx^2-3x^3-3cx^2-3dx+4x^2+4cx+4d\\ =x^4+\left(c-3\right)x^3+\left(d-3c+4\right)x^2+\left(4c-3d\right)x+4d\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-3=-3\Rightarrow c=0\\d-3c+4=3\\4c-3d=a\\4d=b\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d-0+4=3\Rightarrow d=-1\\0-3d=a\\4d=b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-4\end{matrix}\right.\\ Vậy\text{ }để\text{ }f_{\left(x\right)}⋮g_{\left(x\right)}\text{ }thì\text{ }a=3;b=-4\)
c) Do đa thức bị chia có bậc 4
đa thức chia có bậc 2
nên đa thức thương là nhị thức bậc 2
\(\Rightarrow\) Hạng tử bậc 2: \(x^4:x^2=x^2\)
Đặt đa thức thương là \(x^2+cx+d\)
\(\RightarrowĐể\text{ }f_{\left(x\right)}⋮g_{\left(x\right)}\\ thì\Rightarrow x^4-3x^3+bx^2+ax+b=\left(x^2-1\right)\left(x^2+cx+d\right)\\ =x^4+cx^3+dx^2-x^2-cx-d\\ =x^4+cx^3+\left(d-1\right)x^2-cx-d\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=-3\\d-1=b\\-c=a\\-d=b\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\ Vậy\text{ }để\text{ }f_{\left(x\right)}⋮g_{\left(x\right)}thì\text{ }a=-3;b=-\dfrac{1}{2}\)
Câu a , b bạn Trần Quốc Lộc làm rồi , câu c mk làm cách k phải hệ số bất định cho
c) Do đa thức chia có bậc 4 , đa thức bị chia có bậc 2 . Suy ra thương có bậc 2
Đặt đa thức chia là : f( x )
Gọi thương của phép chia là q( x) , ta có :
f( x ) = ( x2 - 1). q( x) , với mọi x
(=) x4 - 3x3 + bx2 + ax + b = ( x2 - 1). q( x) , với mọi x ( 1)
Chọn các giá trị riêng của x sao cho :
x2 - 1 = 0 (=) x = 1 hoặc x = - 1
* Với x = 1 , ta có :
(1) <=> - 2 + 2b + a = 0 ( 2)
* Với x = - 1 , ta có :
( 1) <=> 4 + 2b - a = 0 ( 3)
Từ ( 2 , 3 ) ta nhận được : a = 3 ; b = \(-\dfrac{1}{2}\)
Vậy , với a = 3 ; b = \(-\dfrac{1}{2}\) thỏa mãn điều kiện đầu bài
Tìm các số a, b để đa thức \(f\left(x\right)=6x^4-7x^3+ax^2+3x+2\) chia hết cho đa thức \(f_2\left(x\right)=x^2-x+b\)
a) Tìm đa thức \(f_{\left(x\right)}=x^2+ax+b\) , biết khi chia \(f_{\left(x\right)}\) cho \(x+1\) thì dư là \(6\), còn khi chia cho \(x-2\) thì dư là \(3\)
b) Cho đa thức \(f_{\left(x\right)}=x^4-3x^3+bx^2+ax+b\) ; \(g_{\left(x\right)}=x^2-1\)
Tìm các hệ số của \(a;b\) để \(f_{\left(x\right)}\) chia hết cho \(g_{\left(x\right)}\)
a)ta có:
\(f\left(x\right):\left(x+1\right)\: dư\: 6\Rightarrow f\left(x\right)-6⋮\left(x+1\right)\\ hay\: 1-a+b-6=0\\ \Leftrightarrow b-a-5=0\Leftrightarrow b-a=5\left(1\right)\)
tương tự: \(2^2+2a+b-3=0\\ 2a+b=-1\left(2\right)\)
từ (1) và(2) => \(\left\{{}\begin{matrix}b-a=5\\2a+b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=3\end{matrix}\right.\)
Câu a :
Theo đề bài ta có hệ phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)=1-a+b=6\\f\left(2\right)=4+2a+b=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a+b=5\\2a+b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-2\\b=3\end{matrix}\right.\)
Vậy đa thức \(f\left(x\right)=x^2-2x+3\)
\(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1^4-3.1^3+b.1^2+a.1+b=0\\\left(-1\right)^4-3.\left(-1\right)^3+b.\left(-1\right)^2+a.\left(-1\right)+b=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+a=2\\2b-a=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Câu 1: Cho f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 và g(x) = x2 – x + b. Xác định a và b để f(x) chia hết cho g(x).
Câu 2:Chứng minh rằng với mọi số nguyên n , ta có \(A=\left[n^3\left(n^2-7\right)^2-36n\right]\) chia hết cho 7
tìm a,b để đa thứ f(x) chia hết cho đa thức g(x)
\(a.f\left(x\right)=x^4-9x^3+21x^2+ax+b: g\left(x\right)=x^2-x-1\)
\(b.f\left(x\right)=x^4-x^3+6x^2-x+a: g\left(x\right)=x^2-x+5\)
\(c.f\left(x\right)=3x^3+10x^2-5+a: g\left(x\right)=3x+1\)
em chưa cho đa thức f(x) và g(x) nà
a: \(\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\)
\(=\dfrac{x^4-9x^3+21x^2+ax+b}{x^2-x-1}\)
\(=\dfrac{x^4-x^3-x^2-8x^3+8x^2+8x+14x^2-14x-14+\left(a+6\right)x+b+14}{x^2-x-1}\)
\(=x^2-8x+14+\dfrac{\left(a+6\right)x+b+14}{x^2-x-1}\)
Để f(x) chia hết cho g(x) thì a+6=0 và b+14=0
=>a=-6 và b=-14
b: \(\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\dfrac{x^4-x^3+5x^2+x^2-x+5+a-5}{x^2-x+5}\)
\(=x^2+1+\dfrac{a-5}{x^2-x+5}\)
Để f(x) chia hết g(x) thì a-5=0
=>a=5
Xác định các hệ số a,b để \(f\left(x\right)=x^4+3x^3-x^2+\left(2a-b\right)x+3b+a\) chia hết cho \(g\left(x\right)=x^2+3x-1\)
f(x) chia hết cho x^2+3x-1
=>(2a-b)=0 và 3b+a=0
=>a=b=0
Xác định các hệ số a,b,c để đa thức:
\(f\left(x\right)=x^5-2x^4-6x^3+ax^2+bx+c\) chia hết cho đa thức \(g\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-3\right)\)
Để \(f\left(x\right)⋮g\left(x\right)\)thì \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot q\)( với q là hằng số )
Khi đó ta có pt :
\(x^5-2x^4-6x^3+ax^2+bx+c=\left(x^2-1\right)\left(x-3\right)\cdot q\)
\(\Leftrightarrow x^5-2x^4-6x^3+ax^2+bx+c=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-3\right)\cdot q\)
Vì pt trên đúng với mọi x nên :
+) đặt \(x=1\)
\(pt\Leftrightarrow1^5-2\cdot1^4-6\cdot1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+c=\left(1-1\right)\left(1+1\right)\left(1-3\right)\cdot q\)
\(\Leftrightarrow-7+a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=7\)(1)
Chứng minh tương tự, lần lượt đặt \(x=-1\)và \(x=3\)ta có các pt :
\(\hept{\begin{cases}3+a-b+c=0\\-81+9a+3b+c=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b+c=-3\\9a+3b+c=81\end{cases}}}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt 3 ẩn :
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=7\\a-b+c=-3\\9a+3b+c=81\end{cases}}\)
Giải hệ ta được \(\hept{\begin{cases}a=8\\b=5\\c=-6\end{cases}}\)
Vậy....
Câu 1: Tìm a;b để:
\(f_{\left(x\right)}=ax^4+bx^3+1⋮g_{\left(x\right)}=\left(x-1\right)^2\)
Câu 2: Tìm a;b để
\(f_{\left(x\right)}=x^3+ax+b:x+1\text{ };:x-3\text{ }dư-5\)