Bài 1)

Dạng tổng quát của BĐT Holder khá rắc rối. Người ta thường chú ý đến dạng phổ biến nhất là BĐT Holer bậc 3.

\((a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)\geq (amx+bny+cpz)^3\)

Cách CM (AM-GM):

\(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}\geq \frac{3axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}\)

Tương tự với với các bộ còn lại và cộng lại thu được đpcm

Áp dụng BĐT Holder bậc ba:

\((a^3+b^3+16c^3)(1+1+\frac{1}{4})(1+1+\frac{1}{4})\geq (a+b+c)^3\)

\(\Leftrightarrow (a^3+b^3+16c^3).\frac{81}{16}\geq (a+b+c)^3\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{16}{81}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{16}{81}\Leftrightarrow a=b=4c\)

Help

\(B=\frac{a+b}{ab}+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{2ab}+\frac{a+b}{2ab}+\frac{2}{a+b}\)

\(B\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2ab}+2\sqrt{\frac{2\left(a+b\right)}{2ab\left(a+b\right)}}=3\)

\(B_{min}=3\) khi \(a=b=1\)

Câu b thì đề chắc phải cho a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác để đảm bảo các mẫu thức dương chứ?

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)

\(T=\frac{2\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{2y}+\frac{8\left(x+y\right)}{z}\)

\(T=\frac{2y}{x}+\frac{2z}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{9z}{2y}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}\)

\(T=\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}+\frac{9z}{2y}\)

\(T\ge2\sqrt{\frac{18xy}{2xy}}+2\sqrt{\frac{16xz}{xz}}+2\sqrt{\frac{72yz}{2yz}}=26\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}3x=2y\\z=2x\\4y=3z\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{1}{\dfrac{16}{a^2}}+\dfrac{1}{\dfrac{4}{b^2}}+\dfrac{1}{c^2}\)

\(A\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(A\ge\dfrac{49}{\dfrac{16}{1}}=\dfrac{49}{16}\)

"="<=>\(c^2=2b^2=4a^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(A=\left(\dfrac{1}{16a^2}+\dfrac{1}{4b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\ge\left(\sqrt{\dfrac{1}{16a^2}\cdot a^2}+\sqrt{\dfrac{1}{4b^2}\cdot b^2}+\sqrt{\dfrac{1}{c^2}\cdot c^2}\right)^2\)

\(=\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2=\dfrac{49}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\dfrac{1}{16a^2}}{a^2}=\dfrac{\dfrac{1}{4b^2}}{b^2}=\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{c^2}\\a^2+b^2+c^2=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{\sqrt{7}};b=\sqrt{\dfrac{2}{7}};c=\dfrac{2}{\sqrt{7}}\)

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{2ab+a^2+b^2}=\frac{4}{a+b)^2}=4(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{3}{2ab}\geq 6(2)\)

\(a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{1}{16}(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 4+6+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{161}{16}\). Dấu bằng xảy ra tại $a=b=0,5$

Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\geq 2. \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{(x+y)^2}=\frac{9}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{80}{81xy}+5xy\geq 2\sqrt{\frac{80}{81}.5}=\frac{40}{9}\)

\(\frac{4}{3}=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{4}{9}\Rightarrow \frac{1}{81ab}\geq \frac{1}{36}\)

Cộng những BĐT vừa cm được ở trên với nhau:

\(\Rightarrow A\geq \frac{9}{2}+\frac{40}{9}+\frac{1}{36}=\frac{323}{36}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{323}{36}\Leftrightarrow a=b=\frac{2}{3}\)

Bài 3:

Đặt \((b+c-a,a+c-b, a+b-c)=(x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=\frac{x+y}{2}\\ a=\frac{y+z}{2}\\ b=\frac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:
\(P=\frac{2(y+z)}{x}+\frac{9(x+z)}{2y}+\frac{8(x+y)}{z}\)

\(=\frac{2y}{x}+\frac{2z}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{9z}{2y}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}\)

\(=(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y})+(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z})+(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z})\geq 2\sqrt{9}+2\sqrt{16}+2\sqrt{36}=26\)

(thực hiện BĐT AM-GM cho từng cụm)

Vậy \(P_{\min}=26\)

Câu 1

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Câu 2:

\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)

Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân