Question

Bài 1. Cho a,b>0 tm a+b=1

Tìm Min P= \(\dfrac{2}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{a^4+b^4}{2}\)

Bài 2, Cho x,y>0 tm x+y = 4/3

Tìm Min A= \(\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+5xy\)

Bài 3. Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Tìm Min P= \(\dfrac{4a}{b+c-a}+\dfrac{9b}{a+c-b}+\dfrac{16c}{a+b-c}\)

Bài 4. Cho a,b,c >1. Tìm Min P= \(\dfrac{a}{\sqrt{b}-1}+\dfrac{b}{\sqrt{c}-1}+\dfrac{c}{\sqrt{a}-1}\)

@Akai Haruma Chị giúp e bài này đc k chị, tại e sắp thi rồi chị!! E cảm ơn

Answer 1

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{2ab+a^2+b^2}=\frac{4}{a+b)^2}=4(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{3}{2ab}\geq 6(2)\)

\(a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{1}{16}(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 4+6+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{161}{16}\). Dấu bằng xảy ra tại $a=b=0,5$

Answer 2

Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\geq 2. \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{(x+y)^2}=\frac{9}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{80}{81xy}+5xy\geq 2\sqrt{\frac{80}{81}.5}=\frac{40}{9}\)

\(\frac{4}{3}=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{4}{9}\Rightarrow \frac{1}{81ab}\geq \frac{1}{36}\)

Cộng những BĐT vừa cm được ở trên với nhau:

\(\Rightarrow A\geq \frac{9}{2}+\frac{40}{9}+\frac{1}{36}=\frac{323}{36}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{323}{36}\Leftrightarrow a=b=\frac{2}{3}\)

Answer 3

Bài 3:

Đặt \((b+c-a,a+c-b, a+b-c)=(x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c=\frac{x+y}{2}\\ a=\frac{y+z}{2}\\ b=\frac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:
\(P=\frac{2(y+z)}{x}+\frac{9(x+z)}{2y}+\frac{8(x+y)}{z}\)

\(=\frac{2y}{x}+\frac{2z}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{9z}{2y}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}\)

\(=(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y})+(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z})+(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z})\geq 2\sqrt{9}+2\sqrt{16}+2\sqrt{36}=26\)

(thực hiện BĐT AM-GM cho từng cụm)

Vậy \(P_{\min}=26\)

Answer 4

Bài 4:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P=\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1}\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{b}-1+\sqrt{c}-1+\sqrt{a}-1}\)

\(\Leftrightarrow P\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}\)

Đặt \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=t(t>3)\)

Khi đó: \(\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-3}=\frac{t^2}{t-3}=\frac{t^2-9+9}{t-3}\)

\(=t+3+\frac{9}{t-3}=6+(t-3)+\frac{9}{t-3}\geq 6+2\sqrt{(t-3).\frac{9}{t-3}}=12\) (theo BĐT AM-GM)

Do đó \(P\geq 12\) hay \(P_{\min}=12\)