Question

1)cho a,b,c là các số thực không âm tm a+b+c>0

tìm Min \(P=\frac{a^3+b^3+16c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\)

2)cho các số thực a,b,c thỏa mãn:\(\frac{27a^2}{2}+4b^2+c^2=1-2abc\)

tìm Min và Max of \(P=3a+2b+c\)

Answer 1

Bài 1)

Dạng tổng quát của BĐT Holder khá rắc rối. Người ta thường chú ý đến dạng phổ biến nhất là BĐT Holer bậc 3.

\((a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)\geq (amx+bny+cpz)^3\)

Cách CM (AM-GM):

\(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}\geq \frac{3axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}\)

Tương tự với với các bộ còn lại và cộng lại thu được đpcm

Áp dụng BĐT Holder bậc ba:

\((a^3+b^3+16c^3)(1+1+\frac{1}{4})(1+1+\frac{1}{4})\geq (a+b+c)^3\)

\(\Leftrightarrow (a^3+b^3+16c^3).\frac{81}{16}\geq (a+b+c)^3\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{16}{81}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{16}{81}\Leftrightarrow a=b=4c\)

Answer 2

Help