1:

Pt trùng phương chỉ có các trường hợp

- Vô nghiệm

- Có 2 nghiệm phân biệt

- Có 4 nghiệm phân biệt

- Có 2 nghiệm kép

- Có 3 nghiệm (trong đó 2 nghiệm pb và 1 nghiệm kép \(x=0\))

Không tồn tại trường hợp có 3 nghiệm pb

\(x^4-2mx^2+\left(2m-1\right)=0\left(1\right)\)

Đặt \(t=x^2\), pt trở thành:

\(t^2-2mt+\left(2m-1\right)=0\left(2\right)\)

Để pt(1) có 3 nghiệm thì pt(2) có 1 nghiệm dương khác 0 và 1 nghiệm bằng 0

\(\Leftrightarrow2m-1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t^2-t=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=0\\t=1\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy \(m=\dfrac{1}{2}\)

a) Để \(\left(d\right)\left|\right|Ox\) thì \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\3m-4=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{4}{3}\)

b) Để \(\left(d\right)\left|\right|Oy\) thì \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1=0\\3m-4\ne0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m\ne\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=1\)

c) Để \(O\in\left(d\right)\) thì \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\3m-4\ne0\\-2m-5=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne\dfrac{4}{3}\\m=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=-\dfrac{5}{2}\)

d) Để \(A_{\left(2;-1\right)}\in\left(d\right)\) thì \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-1\\\left(m-1\right)x+\left(3m-4\right)y=-2m-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2\left(m-1\right)-\left(3m-4\right)=-2m-5\\ \Leftrightarrow2m-2-3m+4=-2m-5\\ \Leftrightarrow-m+2=-2m-5\\ \Leftrightarrow m=-7\)

Để (d) cắt (d') tại một điểm nằm trên trục tung thì:

m - 4 = 2

⇔ m = 6

Vậy m = 6 thì (d) và (d') cắt nhau tại một điểm trên trục tung

Lời giải:

Ta thấy $\Delta'=(m+1)^2-(6m-4)=(m-2)^2+1>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên pt luôn có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1x_2=6m-4\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$(2m-2)x_1+x_2^2-4x_2=4$

$x_2^2-2(m+1)x_2+6m-4=0$

$\Rightarrow 2(m+1)x_2-4x_2+(2m-2)x_1-6m=0$ (trừ theo vế)

$\Leftrightarrow (2m-2)(x_1+x_2)=6m$

$\Leftrightarrow (2m-2)(2m+2)=6m$

$\Leftrightarrow 2m^2-2-3m=0$

$\Rightarrow m=2$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy.........

a: \(\text{Δ}=\left(4m-4\right)^2-4\left(-4m+10\right)\)

\(=16m^2-32m+16+16m-40\)

\(=16m^2-16m-24\)

\(=8\left(2m^2-2m-3\right)\)

Để pT có nghiệm kép thì \(2m^2-2m-3=0\)

hay \(m\in\left\{\dfrac{1+\sqrt{7}}{2};\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right\}\)

b: Thay x=2 vào PT, ta được:

\(4+8\left(m-1\right)-4m+10=0\)

=>8m-8-4m+14=0

=>4m+6=0

hay m=-3/2

Theo VI-et, ta được: \(x_1+x_2=-4\left(m-1\right)=-4\cdot\dfrac{-5}{2}=10\)

=>x₂=8

Ptr có nghiệm `<=>\Delta' >= 0`

                       `<=>[-(m+1)^2]-6m+4 >= 0`

                      `<=>m^2+2m+1-6m+4 >= 0`

                      `<=>m^2-4m+5 >= 0<=>(m-2)^2+1 >= 0` (LĐ `AA m`)

`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=2m+2),(x_1.x_2=c/a=6m-4):}`

Có:`(2m-2)x_1+x_2 ^2-4x_2=4`

`<=>(x_1+x_2-4)x_1+x_2 ^2-4x_2=4`

`<=>x_1 ^2+x_1 x_2 -4x_1+x_2 ^2-4x_2=4`

`<=>(x_1+x_2)^2-x_1x_2-4(x_1+x_2)=4`

`<=>(2m+2)^2-(6m-4)-4(2m+2)=4`

`<=>4m^2+8m+4-6m+4-8m-8=4`

`<=>4m^2-6m-4=0`

`<=>(2m-3/2)^2-25/4=0`

`<=>|2m-3/2|=5/2`

`<=>[(m=2),(m=-1/2):}`