Bình phương ba vế suy ra \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

Sau đó chứng minh tương tự bunhiacopxki

Phương Ann Nhã Doanh đề bài khó wá Mashiro Shiina Đinh Đức Hùng

Nguyễn Huy Tú Lightning Farron Akai Haruma

Bài 3: y hệt bài mình đã từng đăng Câu hỏi của Thắng Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath- trước mình có ghi lời giải mà lâu ko xem giờ quên r` :)

1) Đặt n+1 = k^2

2n + 1 = m^2

Vì 2n + 1 là số lẻ => m^2 là số lẻ => m lẻ 

Đặt m = 2t+1

=> 2n+1 = m^2 = (2t+1)^2

=> 2n+1 = 41^2 + 4t + 1

=> n = 2t(t+1)

=> n là số chẵn

=> n+1 là số lẻ

=> k lẻ 

+) Vì k^2 = n+1

=> n = (k-1)(k+1)

Vì k -1 và k+1 là 2 số chẵn liên tiếp

=> (k+1)(k-1) chia hết cho * 

=> n chia hết cho 8

+) k^2 + m^2 = 3a + 2

=> k^2 và m^2 chia 3 dư 1

=> m^2 - k^2 chia hết cho 3

m^2 - k^2 = a

=> a chia hết cho 3

Mà 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> a chia hết cho 24

ấy nhầm, là n chứ không phải a nha :))

\(\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{acy-bcx}{c^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{0}{a^2+b^2+c^2}=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\cx-az=0\\bz-cy=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(cx-az\right)^2+\left(bz-ay\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2+a^2z^2-2axcz+c^2x^2+b^2z^2-2bycz\)

\(+c^2y^2=0\)

\(\Rightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)

\(=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

1)

Ta có : a^3+b^3+c^3=(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)+3.a.b.c=3.a.b.c

=(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)=0

Ta thấy:a,b,c là số dương nên a+b+c khác 0 suy ra (a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c) =0 nên a=b=c

Vậy a=b=c

Bài 2:

Từ $xyz=1$ suy ra:

\(x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=yz+xz+xy\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+xz-x-y-z=0\)

\(\Leftrightarrow (xy-x-y+1)+yz+xz-z-1=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)+yz+xz-z-xyz=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(y-1)+z(y-1)-xz(y-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (y-1)(x-1+z-xz)=0\)

\(\Leftrightarrow (y-1)[(x-1)-z(x-1)]=0\Leftrightarrow (y-1)(x-1)(1-z)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ y=1\\ z=1\end{matrix}\right.\)

Nếu $x=1\Rightarrow yz=1$

$A=x^{2018}+2019^y-z^x=1+2019^y-z=1+2019^y-\frac{1}{y}$

Nếu $y=1\Rightarrow xz=1$

$A=x^{2018}+2019-z^x=x^{2018}+2019-\frac{1}{x^x}$

Nếu $z=1\Rightarrow xy=1$

$A=\frac{1}{y^{2018}}+2019^y-1$

Tóm lại với đkđb vẫn chưa tính được giá trị cụ thể của $A$

Bài 1:

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab]=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0\)

Vì $a,b,c$ dương nên $a+b+c\neq 0$

Do đó $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

Do $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c>0$

Suy ra để tổng của chúng bằng $0$ thì $(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$

$\Rightarow a=b=c$ (đpcm)

lần lượt nhân c,b,a vào tỉ số đầu rồi rút gọn đc ay-bx=cx-az=bz-cy => x/a=y/b=z/c(1)

Theo bđt bunhi thì dấu "=" xảy ra khi x/a=y/b=z/c ,tức là (1) đúng