\(\Delta'=\left(-2\right)^2-3.\left(-8\right)=4+24=28>0.\)

\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2+2\sqrt{7}}{3}.\\x_2=\dfrac{2-2\sqrt{7}}{3}.\end{matrix}\right.\)

\(\Delta'=\left[-\left(m+4\right)\right]^2-1\left(m^2-8\right)=m^2+8m+16-m^2+8=8m+24\)

Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow8m+24\ge0\Leftrightarrow m\ge-3\)

Áp dụng định lý Vi-ét ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+8\\x_1x_2=m^2-8\end{matrix}\right.\)

\(A=x^2_1+x^2_2-x_1-x_2\\ =\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\\ =\left(2m+8\right)^2-2\left(m^2-8\right)-\left(2m+8\right)\\ =4m^2+32m+64-2m^2+16-2m-16\\ =2m^2+30m+64\)

A_min=\(-\dfrac{97}{2}\)\(\Leftrightarrow m=-\dfrac{15}{2}\)

\(B=x^2_1+x^2_2-x_1x_2\\ =\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\\ =\left(2m+8\right)^2-3\left(m^2-8\right)\\ =4m^2+32m+64-3m^2+24\\ =m^2+32m+88\)

B_min=-168\(\Leftrightarrow\)m=-16

Xét pt (1) có:

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m-2\right)\)

= \(4m^2-4m+8\)

= \(\left(2m-1\right)^2+7>0\)

\(\Rightarrow\) Pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x_1^2+x_2^2+2\)

\(\Leftrightarrow2-x_2+2x_1-x_1x_2+2-x_1+2x_2-x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\) \(\Leftrightarrow-\left(x_1+x_2\right)+2\left(x_1+x_2\right)+2-\left(x_1+x_2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow-\left(x_1+x_2\right)\left[1-2+\left(x_1+x_2\right)\right]+2=0\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(2m-1\right)+2=0\)

\(\Leftrightarrow-4m^2+2m+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(2m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-1=0\\2m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy để pt (1) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x_1^2+x_2^2+2\) thì \(m=1\) hoặc \(m=\dfrac{-1}{2}\)

\(\Delta\)' = m² - m + 2 = m² - 2.m.\(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{1}{4}\) + 2 = \(\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2\) + \(\dfrac{7}{4}\) \(\ge\) \(\dfrac{7}{4}\) > 0

\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm \(\forall\)m

áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

(1 + x₁)(2 - x₂) + (1 + x₂)(2 - x₁) = x₁² + x₂² + 2

2 - x₂ + 2x₁ - x₁x₂ + 2 - x₁ + 2x₂ - x₁x₂ = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ + 2

= (x₁ + x₂)² - (x₁ + x₂) - 2 = 0

thay vào ta có : (2m)² - 2m - 2 = 0

4m² - 2m - 2 = 0 ta có : a + b + c = 4 - 2 - 2 = 0

\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt

m₁ = 1 ; m₂ = \(\dfrac{c}{a}\) = \(-\dfrac{1}{2}\)

vậy m = 1 ; m = \(-\dfrac{1}{2}\) thảo mảng điều kiện bài toán

Đáp án của mình là :

\(m_1=1;m_2=-\dfrac{1}{2}\)

Mấy bạn nếu thấy sai sửa lại dùm mình nhé, mình cảm ơn !

phương trình đâu bạn??

Theo hệ thức Vi-et : \(x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\) và \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\)

\(x_1^2+x_2^2+x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\)

=\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\)

=\(\left(\dfrac{-b}{a}\right)^2-2\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{a}\left(\dfrac{-b}{a}\right)\)

=\(\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}+\dfrac{-bc}{a^2}\)

=\(\dfrac{b^2-2ac-bc}{a^2}\)

\(\Delta=\left(m-2\right)^2+8>0\) với mọi m . Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 

Do : \(x_1x_2=-8\) nên \(x_2=\dfrac{-8}{x1}\)

\(Q=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-4\right)=\left(x_1^2-1\right)\left(\dfrac{64}{x_1^2}-4\right)=68-4\left(x_1^2+\dfrac{16}{x_1^2}\right)\le68-4.8=36\)

\(\left(x_1^2+\dfrac{16}{x_1^2}\ge8\right)\)\(;Q=36\) khi và chỉ khi x₁ = ( 2 ; -2 )

Ta có \(\Delta\)'= \(\left(-m\right)^2-2m+2=\left(m-1\right)^2+1>0\veebar m\)

Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2m\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=2m-2\end{matrix}\right.\)

Thay giá trị của \(x_1+x_2\) và \(x_1.x_2\) vào biểu thức A ta được :

\(A=\dfrac{6.\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+4\left(x_1+x_2\right)}=\dfrac{12m}{4m^2+4m+4}\)

\(A=\dfrac{3m}{m^2+m+1}\)

Cm: \(3m\le m^2+m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng ) (dấu = xảy ra khi x=1)

Do đó \(3m\le m^2+m+1\) khi đó ta được:

\(A=\dfrac{3m}{m+m+1}\le1\)

Vậy với GTLN của A = 1 khi và chỉ khi m=1

\(x^2-4x-6=0\)

\(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-6\right)=16+24=40>0\)

=>Phương trình này có hai nghiệm phân biệt

Theo vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-4\right)}{1}=4;x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-6}{1}=-6\)

\(A=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=4^2-2\cdot\left(-6\right)=16+12=28\)

\(B=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{4}{-6}=-\dfrac{2}{3}\)

\(C=x_1^3+x_2^3\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^3-3\cdot x_1\cdot x_2\cdot\left(x_1+x_2\right)\)

\(=4^3-3\cdot4\cdot\left(-6\right)=64+72=136\)

\(D=\left|x_1-x_2\right|\)

\(=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)

\(=\sqrt{4^2-4\cdot\left(-6\right)}=\sqrt{16+24}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)