Chứng minh với mọi a,b,c,d ta luôn có \(a^4+b^4+c^4+d^4\) ≥ 4abcd
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh với mọi a; b; c; d ta có: a4+b4+c4+d4 > 4abcd
Cho a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd .Chứng minh a = b = c = d
Cho \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\) và a, b, c, d > 0 . Chứng minh: a = b = c = d
Với a,b,c,d >0\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^4-2c^2d^2+d^4\right)+\left(2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(a^2b^2-2abcd+c^2d^2\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(ab-cd\right)^2=0\)
Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(c^2-d^2\right)^2\ge0\forall c,d\\\left(ab-cd\right)^2\ge0\forall a,b,c,d\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2=0\\c^2-d^2=0\\ab-cd=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\left(\text{đ}pcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c,d>0 và a4+b4+c4+d4=4abcd
Chứng minh: a=b=c=d
Ta áp dụng Cauchy 2 số
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\cdot2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
Dấu = khi \(\begin{cases}a^4=b^4\\c^4=d^4\\a^2b^2=c^2d^2\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Nhanh hơn có thể dùng Cauchy 4 số
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\cdot\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
Dấu = khi các biến bằng nhau
\(\Leftrightarrow a=b=c=d\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh nếu a4+b4+c4+d4=4abcd và a,b,c,d là các số dương thì a=b=c=d
Chứng minh rằng:
\(a^4\)+\(b^4\)+\(c^4\)+\(d^4\)\(\ge\)2(\(a^2b^2\)+\(c^2d^2\))\(\ge\)4abcd
a)Chứng minh rằng nếu a^4 +b^4 +c^4 +d^4 =4abcd và a,b,c,d là các số dương thì a =b=c=d
b)Chứng minh rằng nếu m= a+ b +c thì (am+ bc )(bm+ac)(cm+ab)= (a+b)^2 (a+c )^2 (b+c)^2
b, Ta có \(m=a+b+c\)
\(\Rightarrow am+bc=a\left(a+b+c\right)+bc=a\left(a+b\right)+ac+bc=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
CMTT \(bm+ac=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\);\(cm+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
Suy ra \(\left(am+bc\right)\left(bm+ac\right)\left(cm+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2\)
Chứng minh rằng nếu \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\)
Và a, b, c, d là các số dương thì a=b=c=d
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=d
Vậy a=b=c=d
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh a^4+b^4+c^4+d^4 lớn hơn hoặc bằng 4abcd
1 dòng thôi bạn
Tuy đề bài k cho \(a;b;c;d\) dương nhưng \(a^4;b^4;c^4;d^4\) chắc chắn dương
Cô-Si: \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)
Đúng 0
Bình luận (0)
áp dụng BĐT cô si cho 4 số ko âm
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.d^4}\)
<=> \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cách lớp 8 .
Ta có :
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2\ge0\) ( Đúng )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=d\)
Đúng 2
Bình luận (0)