a) \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\left(3y+1\right)x+2y^2+y=0\\x^2+y^2+x+y=1\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}xy-x+y=3\\x^2+y^2-x+y+3xy=12\end{matrix}\right.\)

help me

x²+2(m-2)x-m²=0(✳)

để phương trình (✳) có 2 nghiệm phân biệt x₁,x₂ thì

△^'>0⇔(m-2)²-1.(-m²)>0⇔m²-4m+4+m²>0⇔2m²-4m+4>0⇔2(m²-2m+2)>0⇔2[(m²-2m+1)+1]>0⇔2(m-1)²+2>0(luôn đúng)

⇒phương trình (✳) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ với mọi m

khi đó theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-2\right)=4-2m\\x_1.x_2=-m^2\end{matrix}\right.\)

do đó: x₁<x₂⇔x₁-x₂<0⇔(x₁-x₂)²<0

⇔^{_{\(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2< 0\Leftrightarrow\left(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\right)-4x_1x_2< 0\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2< 0\Leftrightarrow\left(4-2m\right)^2-4\left(-m^2\right)< 0\Leftrightarrow16-16m+4m^2-4m^2< 0\Leftrightarrow16-16m< 0\Leftrightarrow m>1\)}}

vậy m>1 là các giá trị cần tìm

\(\frac{2x}{x+1}-\frac{x}{x-3}=\frac{8}{x^2-2x-3}\left(\text{Đ}KX\text{Đ}:x\ne-1;x\ne3\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x\left(x-3\right)-x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\frac{8}{\left(x-3x\right)+\left(x-3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x^2-6x-x^2-x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\frac{8}{x\left(x-3\right)+\left(x-3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-7x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\frac{8}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\)

\(\Rightarrow x^2-7x=8\Leftrightarrow x^2-7x-8=0\circledast\)

phương trình \(\circledast\)có a-b+c=1-(-7)+(-8)=0

⇒phương trình \(\circledast\)có 2 nghiệm phân biệt : x₁=-1(không thỏa mãn ĐKXĐ)

x₂=-8(thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x=8

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y+1=0\\2x^2-xy+3y^2-7x-12y+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\2\left(y-1\right)^2-\left(y-1\right)y+3y^2-7\left(y-1\right)-12y+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\4y^2-22y+10=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\2y^2-11y+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\\left(2y^2-10y\right)-\left(y-5\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\2y\left(y-5\right)-\left(y-5\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\\left(y-5\right)\left(2y-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\y-5=0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=y-1\\2y-1=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{-1}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy hpt đã cho có 2 nghiệm (x,y) \(\in\left\{\left(4;5\right),\left(\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right)\right\}\)

a) với m=3 phương trình đã cho có dạng

\(2x^2-6x+3+7=0\Leftrightarrow2x^2-6x+10=0\Leftrightarrow x^2-3x+5=0\circledast\)

ta có△=\(\left(-3\right)^2+4.1.5=-11< 0\)

⇒ phương trình \(\circledast\) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm với m=3

b)phương trình có một nghiệm bằng -4

\(2.\left(-4\right)^2-6.\left(-4\right)+m+7=0\Leftrightarrow32+24+m+7=0\Leftrightarrow63+m=0\Leftrightarrow m=-63\)

Vậy m=-63 là giá trị cần tìm

3a)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{2y-1}=2\\\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{2y-1}=1\end{matrix}\right.\) (ĐK: x≠2;y≠\(\dfrac{1}{2}\))

Đặt \(\dfrac{1}{x-2}=a;\dfrac{1}{2y-1}=b\) (ĐK: a>0; b>0)

Hệ phương trình đã cho trở thành

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\\2a-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\2\left(2-b\right)-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\4-2b-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2-b\\b=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{7}{5}\left(TM\text{Đ}K\right)\\b=\dfrac{3}{5}\left(TM\text{Đ}K\right)\end{matrix}\right.\) Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{2y-1}=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7\left(x-2\right)=5\\3\left(2y-1\right)=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x-14=5\\6y-3=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{19}{7}\left(TM\text{Đ}K\right)\\y=\dfrac{4}{3}\left(TM\text{Đ}K\right)\end{matrix}\right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=\(\left(\dfrac{19}{7};\dfrac{4}{3}\right)\)

b) Bạn làm tương tự như câu a kết quả là (x;y)=\(\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{-14}{5}\right)\)

c)\(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+2\sqrt{y}=13\\2\sqrt{x-1}-\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\)(ĐK: x≥1;y≥0)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+2\sqrt{y}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x-1}+4\sqrt{x-1}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7\sqrt{x-1}=13\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}49\left(x-1\right)=169\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}49x-49=169\\\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{218}{49}\\y=\dfrac{4}{49}\end{matrix}\right.\left(TM\text{Đ}K\right)\)

Vì x∈Z nên \(\sqrt{x}\) ∈ Z hoặc \(\sqrt{x}\) là số vô tỉ

+ nếu \(\sqrt{x}\) là số vô tỉ thì \(\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\) ∉ Z

+nếu \(\sqrt{x}\) ∈ Z thì \(\sqrt{x}\) +2∈Z để \(\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\) ∈ Z thì \(\sqrt{x}\) + 2 ∈ Ư(3)

⇒2+\(\sqrt{x}\) ∈ {-3;-1;1;3}

Ta có bảng giá trị

Vậy x=1 thì \(\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}\) là số nguyên

với a>0;a≠1 thì

\(M=\left(\dfrac{1}{2+2\sqrt{a}}+\dfrac{1}{2-2\sqrt{a}}-\dfrac{a^2+1}{1-a^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\) \(=\left(\dfrac{1}{2\left(1+\sqrt{a}\right)}+\dfrac{1}{2\left(1-\sqrt{a}\right)}-\dfrac{a^2+1}{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}\right).\dfrac{a+1}{a}\) \(=\left(\dfrac{1-\sqrt{a}+1+\sqrt{a}}{2\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)}-\dfrac{a^2+1}{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}\right).\dfrac{a+1}{a}=\left(\dfrac{2}{2\left(1-a\right)}-\dfrac{a^2+1}{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}\right).\dfrac{a+1}{a}=\left(\dfrac{1}{1-a}-\dfrac{a^2+1}{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}\right).\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{1+a-a^2-1}{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}.\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{a-a^2}{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}.\dfrac{a+1}{a}=\dfrac{a\left(1-a\right)}{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}.\dfrac{a+1}{a}=1\) Vậy giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào a

\(\left(\sqrt{\dfrac{9}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{2}\right).\sqrt{2}=\sqrt{\dfrac{9}{2}}.\sqrt{2}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}.\sqrt{2}-\sqrt{2}.\sqrt{2}=\sqrt{9}+\sqrt{1}-4=3+1-4=0\)

CM\(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}=2\)

Biến đổi vế trái ta có:

\(VT^2=\left(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)^2=4+\sqrt{7}-2\sqrt{\left(4+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{4-\sqrt{7}}\right)}+4-\sqrt{7}=8-2\sqrt{16-7}=8-2\sqrt{9}=8-2.3=2\Rightarrow VT=\sqrt{2}\)