Question

cho phương trình x2+2(m-2)x-m2=0

tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thõa mãn : x1 <x2 và

Answer 1

x²+2(m-2)x-m²=0(✳)

để phương trình (✳) có 2 nghiệm phân biệt x₁,x₂ thì

△^'>0⇔(m-2)²-1.(-m²)>0⇔m²-4m+4+m²>0⇔2m²-4m+4>0⇔2(m²-2m+2)>0⇔2[(m²-2m+1)+1]>0⇔2(m-1)²+2>0(luôn đúng)

⇒phương trình (✳) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ với mọi m

khi đó theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-2\right)=4-2m\\x_1.x_2=-m^2\end{matrix}\right.\)

do đó: x₁<x₂⇔x₁-x₂<0⇔(x₁-x₂)²<0

⇔^{_{\(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2< 0\Leftrightarrow\left(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\right)-4x_1x_2< 0\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2< 0\Leftrightarrow\left(4-2m\right)^2-4\left(-m^2\right)< 0\Leftrightarrow16-16m+4m^2-4m^2< 0\Leftrightarrow16-16m< 0\Leftrightarrow m>1\)}}

vậy m>1 là các giá trị cần tìm