Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Edogawa Conan

Cho \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\) và a, b, c, d > 0 . Chứng minh: a = b = c = d

Hỏi Làm Giề
28 tháng 1 2018 lúc 21:31

Với a,b,c,d >0\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^4-2c^2d^2+d^4\right)+\left(2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(a^2b^2-2abcd+c^2d^2\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(ab-cd\right)^2=0\)

Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(c^2-d^2\right)^2\ge0\forall c,d\\\left(ab-cd\right)^2\ge0\forall a,b,c,d\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2=0\\c^2-d^2=0\\ab-cd=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\left(\text{đ}pcm\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Sofia Nàng
Xem chi tiết
Đinh Khánh linh
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Thịnh
Xem chi tiết
Yeong
Xem chi tiết
hello sunshine
Xem chi tiết
Đinh Khánh linh
Xem chi tiết
Trần Linh
Xem chi tiết
Trần Quang
Xem chi tiết
Trần Huỳnh Cẩm Hân
Xem chi tiết