Chứng minh ngược ))

2 ( x + 1 ) ( y + 1 ) = ( x + y ) ( x + y + 2 )

<=> 2xy + 2x + 2y + 2 = x² + 2xy + y² + 2x + 2y

<=> x² + 2xy + y² + 2x + 2y - 2xy - 2x - 2y - 2 = 0

<=> x² + y² - 2 = 0

<=> x² + y² = 2 ( đúng )

=> Đpcm

Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(A\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{4}{1}\right)^2=\dfrac{25}{2}\)

Dấu "=" \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

** Bạn lưu ý lần sau viết đề bằng công thức toán!

Đề cần sửa thành $\leq \frac{4}{3}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{2x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{(x^2+z^2)+(x^2+y^2)}\leq \frac{1}{2xy+2xz}=\frac{1}{2}.\frac{1}{xy+xz}\leq \frac{1}{8}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}\right)\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:

\(\sum \frac{1}{2x^2+y^2+z^2}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)=\frac{x+y+z}{4xyz}\) $(1)$

Mặt khác:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\Rightarrow 4xyz=xy+yz+xz$

$\Rightarrow 16x^2y^2z^2=(xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)$ (theo BĐT AM-GM)

$\Rightarrow x+y+z\leq \frac{16}{3}xyz (2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \sum \frac{1}{2x^2+y^2+z^2}\leq \frac{4}{3}$ 

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{3}{4}$

\(\dfrac{1}{2x^2+y^2+z^2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+x^2+z^2}\le\dfrac{1}{2xy+2xz}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{x^2+2y^2+z^2}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}\right)\) ; \(\dfrac{1}{x^2+y^2+2z^2}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz}\right)\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2=\dfrac{4}{3}\)

Đề bài sai

Câu hỏi của Thu Hà - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2(12+12+12)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2

⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2

⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=12=1⇒3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=12=1

⇒x2+y2+z2≥13⇒x2+y2+z2≥13

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=13x=y=z=13

b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

(4+1)(4x2+y2)≥(4x+y)2(4+1)(4x2+y2)≥(4x+y)2

⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2

⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2=12=1⇒5(4x2+y2)≥(4x+y)2=12=1

⇒4x2+y2≥15⇒4x2+y2≥15

Đẳng thức xảy ra khi x=y=15x=y=15

\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)

\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=2^2-2.1=2\) (đpcm)

\(3\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^3+y^3\right)\)

\(=3\left[\left(x^2+2xy+y^2\right)-2xy\right]-2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=3\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]-2\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]\)

\(=3\left(1-2xy\right)-2\left(1-3xy\right)\)

\(=6xy-6xy+3-2=1\)

Vậy với \(x+y=1\) thì \(3\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^3+y^3\right)=1\)

kim ngân bn giải thích cho mk dòng thứ 3 :-3xy từ đâu có vậy??