Đề là: \(P=x^3+y^3-\dfrac{x^2+y^2}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

Hay \(P=\dfrac{x^3+y^3-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\) 

Cái nào em nhỉ?

\(P=\dfrac{x^3+y^3-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\dfrac{x^3-x^2+y^3-y^2}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\dfrac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

\(P=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\)

Ta có:

\(\dfrac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4x^2\left(y-1\right)}{y-1}}=4x\)

Tương tự: \(\dfrac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge4y\)

Cộng vế:

\(P+4\left(x+y\right)-8\ge4\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow P\ge8\)

\(P_{min}=8\) khi \(x=y=2\)

\(a,x+y=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3=1\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\\ \Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\cdot1=1\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy=1\)

\(b,x^3-y^3-3xy\\ =x^3-3x^2y+3xy^2-y^3-3xy+3x^2y-3xy^2\\ =\left(x-y\right)^3-3xy\left(x-y-1\right)\\ =1^3-3xy\left(1-1\right)=1-0=1\)

\(c,x^3+y^3+3xy\left(x^2+y^2\right)+6x^2y^2\left(x+y\right)\\ =\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+3xy\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+6x^2y^2\\ =x^2-xy+y^2+3xy-6x^2y^2+6x^2y^2\\ =x^2+2xy+y^2=\left(x+y\right)^2=1\)

`#3107.101107`

`D = x^3 - y^3 - 3xy` biết `x - y - 1 = 0`

Ta có:

`x - y - 1 = 0`

`=> x - y = 1`

`D = x^3 - y^3 - 3xy`

`= (x - y)(x^2 + xy + y^2) - 3xy`

`= 1 * (x^2 + xy + y^2) - 3xy`

`= x^2+ xy + y^2 - 3xy`

`= x^2 - 2xy + y^2`

`= x^2 - 2*x*y + y^2`

`= (x - y)^2`

`= 1^2 = 1`

Vậy, với `x - y = 1` thì `D = 1`

________

`E = x^3 + y^3` với `x + y = 5; x^2 + y^2 = 17`

`x + y = 5`

`=> (x + y)^2 = 25`

`=> x^2 + 2xy + y^2 = 25`

`=> 2xy = 25 - (x^2 + y^2)`

`=> 2xy = 25 - 17`

`=> 2xy = 8`

`=> xy = 4`

Ta có:

`E = x^3 + y^3`

`= (x + y)(x^2 - xy + y^2)`

`= 5 * [ (x^2 + y^2) - xy]`

`= 5 * (17 - 4)`

`= 5 * 13`

`= 65`

Vậy, với `x + y = 5; x^2 + y^2 = 17` thì `E = 65`

________

`F = x^3 - y^3` với `x - y = 4; x^2 + y^2 = 26`

Ta có:

`x - y = 4`

`=> (x - y)^2 = 16`

`=> x^2 - 2xy + y^2 = 16`

`=> (x^2 + y^2) - 2xy = 16`

`=> 2xy = (x^2 + y^2) - 16`

`=> 2xy = 26 - 16`

`=> 2xy = 10`

`=> xy = 5`

Ta có:

`F = x^3 - y^3`

`= (x - y)(x^2 + xy + y^2)`

`= 4 * [ (x^2 + y^2) + xy]`

`= 4 * (26 + 5)`

`= 4*31`

`= 124`

Vậy, với `x - y = 4; x^2 + y^2 = 26` thì `F = 124.`

\(x-y=1\Leftrightarrow x=1+y\\ P=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-xy\\ P=x^2+xy+y^2-xy\\ P=x^2+y^2=y^2+2y+1+y^2\\ P=2\left(y^2+y+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow y=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

x³ - y³ - xy

= (x - y)(x² + xy + y²) - xy

Thay x - y = 1 vào, ta đc:

= x² + xy + y² - xy

= x² + y²

Ta có: x² + y² có giá trị nhỏ nhất khi \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
Theo hằng đẳng thức đáng nhớ thì:
$x^3+y^3+xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)+xy=x^2-xy+y^2+xy$

$=x^2+y^2=\frac{1}{2}[(x+y)^2+(x-y)^2]\geq \frac{1}{2}(x+y)^2=\frac{1}{2}$
Vậy GTNN của biểu thức là $\frac{1}{2}$. Giá trị này đạt tại $x+y=1$ và $x-y=0$

$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Lời giải:

$M=x^3+y^3+2xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy=x^2-xy+y^2+2xy$

$=x^2+y^2+xy=\frac{1}{4}(x-y)^2+\frac{3}{4}(x+y)^2=\frac{1}{4}(x-y)^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

Vậy $M_{\min}=\frac{3}{4}$. Giá trị này đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$

Ta có:

VT: \(\left(xy+1\right)\left(x^2y^2-xy+1\right)+\left(x^3-1\right)\left(1-y^3\right)\)

\(=\left(xy\right)^3+1^3+x^3-x^3y^3-1+y^3\)

\(=x^3y^3+1+x^3-x^3y^3-1+y^3\)

\(=\left(x^3y^3-x^3y^3\right)+\left(1-1\right)+\left(x^3+y^3\right)\)

\(=x^3+y^3=VP\left(dpcm\right)\)