Cho x,y eZ , x,y khác -1 t/m \(\dfrac{x^4-1}{y+1}+\dfrac{y^4-4}{x+1}\) là số nguyên.
C/m \(x^4y^{44}-1⋮y+1\)
1. Cho x,y,z >0 t/m: \(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}=2\)
Tìm max (xyz)
2. Cho \(2x^2+y^2-2xy=1\)
a) CM: |x| ≤ 1
b) Tìm max \(P=4x^4+4y^4-2x^2y^2\)
\(1,\dfrac{1}{1+x}=1-\dfrac{1}{1+y}+1-\dfrac{1}{1+z}=\dfrac{y}{1+y}+\dfrac{z}{1+z}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)
Cmtt: \(\dfrac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\dfrac{xz}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}};\dfrac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)
Nhân VTV
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge8\sqrt{\dfrac{x^2y^2z^2}{\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\dfrac{8xyz}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\\ \Leftrightarrow8xyz\le1\Leftrightarrow xyz\le\dfrac{1}{8}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
\(2,\\ a,2x^2+y^2-2xy=1\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+x^2=1\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=1-x^2\ge0\\ \Leftrightarrow x^2\le1\Leftrightarrow\sqrt{x^2}\le1\Leftrightarrow\left|x\right|\le1\)
Tìm x, y, z biết:
a, \(\dfrac{y + x + 1}{x} = \dfrac{x + z + 1}{x} = \dfrac{x + z + 2}{y} = \dfrac{x + y - 3}{z} = \dfrac{1}{x + y +z}\)
b, \(\dfrac{2x +3y}{4} = \dfrac{4y +- 3z}{5} = \dfrac{8x + 5z}{3}\) và x + y + z = 1
bài 1: Cho x+y+z=123, \(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}=\dfrac{1}{45}\)
Tính P=\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{y+x}\)
bài 2: Tìm x;y sao cho các đơn thức sau mang dấu âm:
\(\dfrac{-1}{4}.x^3.y^4;\dfrac{-4}{5}.x^4.y^3;\dfrac{1}{2}xy\)
hộ mình nhé, chiều nay phải có bài rồi
Ta có :\(\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{123-\left(y+z\right)}{y+z}\)
\(\dfrac{y}{x+z}=\dfrac{123-\left(x+z\right)}{x+z}\)
\(\dfrac{z}{y+x}=\dfrac{123-\left(y+x\right)}{y+x}\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{123-\left(y+z\right)}{y+z}+\dfrac{123-\left(z+x\right)}{z+x}+\dfrac{123-\left(y+x\right)}{y+x}\)\(\Rightarrow P=123\left(\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{z+x}\right)-3\)
\(\Rightarrow P=123.\dfrac{1}{45}-3\)
\(\Rightarrow P=-\dfrac{4}{15}\)
Bài 1: Cho P= 7+72+73+74+.........+72016. Chứng minh P chia hết cho 400.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất
a) A= | x - 1004 | - | x+1003 |
b) B = | x - 2018 | - | x - 2017 |
Bài 3 : Cho \(\dfrac{2x-4y}{3}=\dfrac{4z-3y}{2}=\dfrac{3y-2z}{4}\) . Tìm x,y,z biết 2x-y+z = 27
Bài 4: Tìm các số thực x,y,z biết \(\dfrac{x+y-3}{z}=\dfrac{y+z+1}{x}=\dfrac{x+z+2}{y}=\dfrac{1}{x+y+z}\)
Bài 5 : a) Tính : \(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+.....+\dfrac{1}{19.21}\)
b) Chứng minh : \(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n-1\right)}\) < \(\dfrac{1}{2}\)
5a.
\(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+....+\dfrac{1}{19.21}\\ =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+....+\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{21}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{21}\right)\\ =\dfrac{1}{2}.\dfrac{20}{21}=\dfrac{10}{21}\)
b.
\(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\\ =\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+....+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2n+1}\right)< \dfrac{1}{2}.1=\dfrac{1}{2}\)
cho x,y là các số dương c/m rằng (x+y) (\(\dfrac{1}{x}\)+ \(\dfrac{1}{y}\))≥4
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\)
Do đó: \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)>=4\)
cho 2 số dương x,y thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=2\)
tìm max\(Q=\dfrac{1}{x^4+y^2+2xy^2}+\dfrac{1}{y^4+x^2+2yx^2}\)
Ta có:
\(2=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\)
\(\Leftrightarrow xy\ge1\)
Theo đề bài thì
\(\dfrac{1}{x^4+y^2+2xy^2}+\dfrac{1}{y^4+x^2+2yx^2}\le\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^6y^6}}+\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^6y^6}}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)
Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{y z}{x^{2}+x y z}+\dfrac{z x}{y^{2}+x y z}+\dfrac{x y}{z^{2}+x y z} \geq \dfrac{1}{4 x}+\dfrac{1}{4 y}+\frac{1}{4 z}$
Tìm x,y biết \(\dfrac{1-2y}{18}=\dfrac{1+4y}{24}=\dfrac{1+6y}{6x}\)
Tìm x,y,z biết \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}\) ; \(\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{7}\) và x+y+z =9^2
Tìm n để A= 12n^2 - 5n -25 là số nguyên tố
2)\(x+y+z=9^2=81\)
Ta có:\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}\Rightarrow\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{20}\left(1\right)\)
\(\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{7}\Rightarrow\dfrac{y}{20}=\dfrac{z}{28}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{20}=\dfrac{z}{28}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{20}=\dfrac{z}{28}=\dfrac{x+y+z}{15+20+28}=\dfrac{81}{63}=\dfrac{9}{7}\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{135}{7};y=\dfrac{180}{7};z=36\)
Cho ba số thực $x, y, z$ thay đổi thỏa mãn các điều kiện $x>\dfrac{1}{4}, y>\dfrac{1}{3}, z>\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{4}{4 x+3}+\dfrac{3}{3 y+2}+\dfrac{2}{2 z+1} \geq 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=(4 x-1)(3 y-1)(2 z-1)$.