1/ \(2C^k_n+5C^{k+1}_n+4C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\)

\(=2\left(C^k_n+C_n^{k+1}\right)+3\left(C^{k+1}_n+C^{k+2}_n\right)+\left(C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\right)\)

\(=2C_{n+1}^{k+1}+3C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3}\)

\(=2\left(C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2}\right)+\left(C_{n+1}^{k+2}+C^{k+3}_{n+1}\right)\)

\(=2C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}=C_{n+2}^{k+2}+\left(C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}\right)=C_{n+2}^{k+2}+C_{n+3}^{k+3}\)

Áp dụng ct:C(k)(n)=C(k)(n-1)+C(k-1)(n-1) có:
................C(k-1)(n-1)= C(k)(n) - C(k)(n-1)
tương tự: C(k-1)(n-2)= C(k)(n-1) - C(k)(n-2)
................C(k-1)(n-3)= C(k)(n-2) -C(k)(n-3)
.........................................
................C(k-1)(k-1)= C(k)(k) (=1)
Cộng 2 vế vào với nhau...-> đpcm

 Xét câu A, hiển nhiên khi \(n\rightarrow+\infty\) thì \(a_n=\sqrt{n^3+n}\rightarrow+\infty\) nên dãy (a_n) không bị chặn.

 Ở câu C, lấy n chẵn và cho \(n\rightarrow+\infty\) thì dãy (c_n) cũng sẽ tiến tới \(+\infty\). Do đó dãy (c_n) cũng là 1 dãy không bị chặn.

 Ở câu B, ta xét hàm số \(f\left(x\right)=x^2+\dfrac{1}{x}\) trên \(\left[1;+\infty\right]\), ta thấy \(f'\left(x\right)=2x-\dfrac{1}{x^2}\) \(=\dfrac{2x^3-1}{x^2}\) \(=\dfrac{x^3+x^3-1}{x^2}>0,\forall x\ge1\) . Do đó \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[1;+\infty\right]\) và do đó cũng đồng biến trên \(ℕ^∗\). Nói cách khác, (b_n) là dãy tăng . Như vậy, nếu b_n bị chặn thì tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}b_n=L>1\). Chuyển qua giới hạn, ta được \(L=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(n^2+\dfrac{1}{n}\right)=+\infty\), vô lí. Vậy (b_n) không bị chặn trên.

 Còn lại câu D. Ta thấy với \(n\inℕ^∗\) thì hiển nhiên \(d_n>0\). Ta thấy \(d_n=\dfrac{3n}{n^3+2}=\dfrac{3n}{n^3+1+1}\le\dfrac{3n}{3\sqrt[3]{n^3.1.1}}=1\), với mọi \(n\inℕ^∗\). Vậy, (d_n) bị chặn 

 \(\Rightarrow\) Chọn D.

Ta có:

\({a_1} = 0;{a_2} = 1;{a_3} = 2;{a_4} = 3;{a_5} = 4\).

\({b_1} = 2.1 = 2;{b_2} = 2.2 = 4;{b_3} = 2.3 = 6;{b_4} = 2.4 = 8\).

 \({c_1} = 1;{c_2} = {c_1} + 1 = 1 + 1 = 2;{c_3} = {c_2} + 1 = 2 + 1 = 3;{c_4} = {c_3} + 1 = 3 + 1 = 4\).

+ Chu vi đường tròn có bán kính \(n\) là \({d_n} = 2\pi n\).

Ta có: \({d_1} = 2\pi .1 = 2\pi ;{d_2} = 2\pi .2 = 4\pi ;{d_3} = 2\pi .3 = 6\pi ;{d_4} = 2\pi .4 = 8\pi \).

Chọn C

Chọn C

chỗ nào không cứ hỏi mình nhé

\(C^1_n+C^2_n=15\) (Điều kiện: \(n\ge2\))

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=15\)

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{2\left(n-2\right)!}=15\)

\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}=15\)

\(\Leftrightarrow2n+n\left(n-1\right)=30\)

\(\Leftrightarrow2n+n^2-n=30\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-30=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=5\\n=-6\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{2}{x^4}\right)^5=C^k_5x^{5-k}\left(\dfrac{2}{x^4}\right)^k=C^k_5x^{5-k-4k}.2^k=C^k_5x^{5-5k}.2^k\)

\(ycbt\Leftrightarrow5-5k=0\Leftrightarrow k=1\)

\(\Rightarrow C^1_5.2^1=10\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(10\).

\(\left(x^{-\frac{2}{3}}+x^{\frac{3}{4}}\right)^{17}=\sum\limits^{17}_{k=0}C_{17}^k\left(x^{-\frac{2}{3}}\right)^k\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^{17-k}=\sum\limits^{17}_{k=0}C_{17}^kx^{\frac{51}{4}-\frac{17}{12}k}\)

Số hạng thứ 13 \(\Rightarrow k=12\) là: \(C_{17}^{12}x^{-\frac{17}{4}}\)

b/ Xét khai triển:

\(\left(3-x\right)^n=C_n^03^n+C_n^13^{n-1}\left(-x\right)^1+C_n^23^{n-2}\left(-x\right)^2+...+C_n^n\left(-x\right)^n\)

Cho \(x=1\) ta được:

\(2^n=3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+3^{n-2}C_n^2+...+\left(-1\right)^nC_n^n\)

À, đến đây mới thấy đề thiếu, biết rằng cái kia làm sao hả bạn?