Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a. tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC 
b. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 4 2016 lúc 12:57
cho A , B , C là 3 góc của tam giác ABC . chứng minh rằng : a) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC ; b) cosA + cosB + cosC = 1 = 4sin\(\frac{A}{2}\)sin\(\frac{B}{2}\)sin\(\frac{C}{2}\) ; c) cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosAcosBcosC
Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông.
Chứng minh: tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC
Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông.
Chứng minh: tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC
Chứng minh đẳng thức sin2A+sin2B+sin2C=4sinA.sinB.sinC với A,B,C là 3 góc trong tam giác ABC
Lời giải:
Ta có:
$\sin 2A+\sin 2B=2\sin \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2}=2\sin (A+B)\cos (A-B)$
$=2\sin (\pi -C)\cos (A-B)=2\sin C\cos (A-B) $
Do đó:
$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\sin 2C+2\sin C\cos (A-B)=2\sin C\cos C+2\sin C\cos (A-B)$
$=2\sin C[\cos C+\cos (A-B)]=2\sin C[\cos (\pi -A-B)+\cos (A-B)]$
$=2\sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B)]=-2.\sin C[\cos (A+B)-\cos (A-B)]$
$=-2\sin C. (-2).\sin \frac{(A+B)+(A-B)}{2}.\sin \frac{(A+B)-(A-B)}{2}=4\sin C.\sin A.\sin B$
Ta có đpcm.
trong tam giác ABC ta có
sin2A + sin2B + sin2C = 4.sinA.sinB.sinC
\(sin2A+sin2B+sin2C=2sin\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC\)
\(=2sinC.cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC=2sinC\left[cos\left(A-B\right)+cosC\right]\)
\(=4sinC.cos\left(\frac{A+C-B}{2}\right).cos\left(\frac{A-B-C}{2}\right)\)
\(=4sinC.cos\left(\frac{\pi-2B}{2}\right).cos\left(\frac{2A-\pi}{2}\right)=4sinC.cos\left(\frac{\pi-2B}{2}\right).cos\left(\frac{\pi-2A}{2}\right)\)
\(=4sinC.cos\left(\frac{\pi}{2}-B\right).cos\left(\frac{\pi}{2}-A\right)\)
\(=4sinA.sinB.sinC\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho tam giác ABC . chứng minh:
a, sin(A+B)sinC. ; cos (A+B)cos-C; tan ( A+B) -tan C
b, sinfrac{A+B}{2}cosfrac{C}{2} ; cosfrac{A+B}{2}sinfrac{C}{2} ; tanfrac{A+B}{2}cotfrac{C}{2}
c, tan A+tanB+tanC tanA.tanB.tanc( tam giác không vuông)
d, sinA+sinB+sinC 4cosfrac{A}{2}cosfrac{B}{2}cosfrac{C}{2}
e, cos A+cosB+cosC 1+4sinfrac{A}{2}sinfrac{B}{2}sinfrac{C}{2}
f, sin2A+sin2B+sin2C 4sinAsinBsinC
g, cos 2A+cos2B+cos2C1-2cosAcosBcosC
Đọc tiếp
cho tam giác ABC . chứng minh:
a, sin(A+B)=sinC. ; cos (A+B)=cos-C; tan ( A+B)= -tan C
b, \(sin\frac{A+B}{2}=cos\frac{C}{2}\) ; \(cos\frac{A+B}{2}=sin\frac{C}{2}\) ; tan\(\frac{A+B}{2}=cot\frac{C}{2}\)
c, tan A+tanB+tanC= tanA.tanB.tanc( tam giác không vuông)
d, sinA+sinB+sinC= \(4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}\)
e, cos A+cosB+cosC= \(1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)
f, sin2A+sin2B+sin2C= 4sinAsinBsinC
g, cos 2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC
\(A+B+C=180^0\Rightarrow A+B=180^0-C\)
\(\Rightarrow sin\left(A+B\right)=sin\left(180^0-C\right)=sinC\)
\(cos\left(A+B\right)=cos\left(180^0-C\right)=-cosC\)
\(tan\left(A+B\right)=tan\left(180^0-C\right)=-tanC\)
b/ \(\frac{A+B+C}{2}=90^0\Rightarrow\frac{A+B}{2}=90^0-\frac{C}{2}\)
\(\Rightarrow sin\frac{A+B}{2}=sin\left(90^0-\frac{C}{2}\right)=cos\frac{C}{2}\)
\(cos\frac{A+B}{2}=cos\left(90^0-\frac{C}{2}\right)=sin\frac{C}{2}\)
\(tan\frac{A+B}{2}=tan\left(90-\frac{C}{2}\right)=cot\frac{C}{2}\)
c/ \(A+B=180^0-C\Rightarrow tan\left(A+B\right)=-tanC\)
\(\Leftrightarrow\frac{tanA+tanB}{1-tanA.tanB}=-tanC\)
\(\Leftrightarrow tanA+tanB=-tanC+tanA.tanB.tanC\)
\(\Leftrightarrow tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\)
Đúng 0
Bình luận (0)
d/ \(sinA+sinB+sinC=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}\)
\(=2cos\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+sin\frac{C}{2}\right)\)
\(=2cos\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}\right)\)
\(=4cos\frac{C}{2}.cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}\)
e/
\(cosA+cosB+cosC=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+1-2sin^2\frac{C}{2}\)
\(=1+2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}-2sin^2\frac{C}{2}\)
\(=1+2sin\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}-sin\frac{C}{2}\right)\)
\(=1+2sin\frac{C}{2}\left(cos\frac{A-B}{2}-cos\frac{A+B}{2}\right)\)
\(=1+4sin\frac{C}{2}.sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
f/
\(sin2A+sin2B+sin2C=2sin\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC\)
\(=2sinC.cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC\)
\(=2sinC\left(cos\left(A-B\right)+cosC\right)\)
\(=2sinC\left[cos\left(A-B\right)-cos\left(A+B\right)\right]\)
\(=4sinC.sinA.sinB\)
g/
\(cos^2A+cos^2B+cos^2C=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2A+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2B+cos^2C\)
\(=1+\frac{1}{2}\left(cos2A+cos2B\right)+cos^2C\)
\(=1+cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+cos^2C\)
\(=1-cosC.cos\left(A-B\right)+cos^2C\)
\(=1-cosC\left(cos\left(A-B\right)-cosC\right)\)
\(=1-cosC\left[cos\left(A-B\right)+cos\left(A+B\right)\right]\)
\(=1-2cosC.cosA.cosB\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH . Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H AB và AC
a) Chứng minh AE.AB=AF.AC
b) Tính M,biết M=5.sin2C+5.sin2B+2tanB tanC
a: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên AE*AB=AH^2
ΔAHC vuông tại H có HF vuông góc AC
nên AF*AC=AH^2
=>AE*AB=AF*AC
b: M=5*sin^2C+5*cos^2C+2*tanB*cot B
=5+2
=7
Đúng 1
Bình luận (1)
Các góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức, \(\frac{sinB+sinC}{sinA}=\frac{sin2B+sin2C}{sin2A}\)
Chứng minh rằng cosB+cosC=1
Cho\(\Delta\)ABC nhọn .Chứng minh rằng: tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC