Ta có: 1.3.5...(2n - 1) = { [1.3.5....(2n - 1)].(2.4.6...2n) }/(2.4.6...2n) = (1.2.3.4....2n)/[ (1.2).(2.2).(3.2)...(n.2) ] = {(1.2.3.4...n).[ (n + 1)(n + 2)...2n ] }/[ (1.2.3..n)(2.2.2...2) ] = [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) => 1.3.5...(2n - 1) = [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) Do n ∈ Z+ => 1.3.5...(2n - 1) thuộc nguyên dương => [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) thuộc nguyên dương => [ (n + 1)(n + 2)...2n ] chia hết cho (2.2.2...2) Bây giờ ta cần tìm số chữ số 2 trong cụm (2.2.2....2) Ta thấy: 2 -> 2n có (2n - 2)/2 + 1 = n chữ số => trong cụm (2.2.2...2) có n chữ số 2 (Vì trong mỗi số từ 2 -> 2n ta đều lấy ra 1 số 2) => [ (n + 1)(n + 2)...2n ] chia hết cho 2^n 

Ta có: 1.3.5...(2n - 1) 
= { [1.3.5....(2n - 1)].(2.4.6...2n) }/(2.4.6...2n) 
= (1.2.3.4....2n)/[ (1.2).(2.2).(3.2)...(n.2) ] 
= {(1.2.3.4...n).[ (n + 1)(n + 2)...2n ] }/[ (1.2.3..n)(2.2.2...2) ] 
= [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) 
=> 1.3.5...(2n - 1) = [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) 
Do n ∈ Z+ => 1.3.5...(2n - 1) thuộc nguyên dương 
=> [ (n + 1)(n + 2)...2n ]/(2.2.2...2) thuộc nguyên dương 
=> [ (n + 1)(n + 2)...2n ] chia hết cho (2.2.2...2) 
Bây giờ ta cần tìm số chữ số 2 trong cụm (2.2.2....2) 
Ta thấy: 2 -> 2n có (2n - 2)/2 + 1 = n chữ số => trong cụm (2.2.2...2) có n chữ số 2 (Vì trong mỗi số từ 2 -> 2n ta đều lấy ra 1 số 2) 
=> [ (n + 1)(n + 2)...2n ] chia hết cho 2^n 

Bài 3: 

a: =>4n-2-3 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;0;2;-1\right\}\)

b: =>-3 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;0;2;-1\right\}\)

Bạn viết đề bài ra rõ ràng lại hộ mình cái

a) \(2+4+6+...+2n=n\left(n+1\right)\)       (1)

\(n=1\) ta có : \(2=1\cdot\left(1+1\right)\)  ( đúng)

Giả sử (1) đúng đến n, ta sẽ chứng minh (1) đúng với n+1

Có \(2+4+6+...+2n+2\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

=> (1) đúng với n+1

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

b) sai đề nha, mình search google thì được như này =))

 \(1^3+3^3+5^3+...+\left(2n-1\right)^2=n^2\left(2n^2-1\right)\)     (2)

\(n=1\) ta có : \(1^3=1^2\cdot\left(2-1\right)\)   (đúng) 

giả sử (2) đúng đến n, tức là \(1^3+3^3+...+\left(2n-1\right)^3=n^2\left(2n^2-1\right)\)

Ta c/m (2) đúng với n+1

Có \(1^3+3^3+...+\left(2n+1\right)^3=n^2\left(2n^2-1\right)+\left(2n+1\right)^3\)

\(=2n^4+8n^3+11n^2+6n+1\)

\(=\left(n^2+2n+1\right)\left(2n^2+4n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)^2\left[2\left(n+1\right)^2-1\right]\)   => (2) đúng với n+1

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

 

2n, 2n + 1 và 2n + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp. Mà trong 3 số tự nhiên liên tiếp, luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3

--> 2n(2n + 1)(2n + 2) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.

- Khi \(2n\) chia cho 3 thì sẽ có số dư là 0,1,2:

- Xét \(2n=3k\) =>\(2n\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)\) ⋮3 (1)

- Xét \(2n=3k+1\) =>\(2n+2=3k+3\) =>\(2n\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)\)⋮3 (2)

- Xét \(2n=3k+2\) =>\(2n+1=3k+3\) =>\(2n\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)\)⋮3 (3)

- Từ (1),(2),(3) suy ra \(2n\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)\)⋮3 với mọi số tự nhiên n.

ta có n^4+2n^3+2n^2+2n+1=(n^2+n+1)^2-n^2=(n^2+1)(n+1)^2=t^2khi và chỉ khi n^2+1 là số chính phương

có n^2+1=a^2khi và chỉ khi n=0

b) Gọi \(d\inƯC\left(3n+2;2n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\2n+1⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+4⋮d\\6n+3⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(3n+2;2n+1\right)=1\)

hay \(B=\dfrac{3n+2}{2n+1}\) là phân số tối giản (đpcm)

Gọi ƯCLN(n-1,n-2)=d

n-1⋮d 

n-2⋮d

(n-1)-(n-2)⋮d

1⋮d ⇒ƯCLN(n-1,n-2)=1

Vậy n-1/n-2 là ps tối giản

Giải:

A=n-1/n-2

Gọi ƯCLN(n-1;n-2)=d

=>n-1:d

    n-2:d

=>(n-1)-(n-2):d

       -1:d

=>d=1

=>ƯCLN(n-1;n-2)=1

Vậy n-1/n-2 là phân số tối giản.

B=3n+2/2n+1

Gọi ƯCLN(3n+2;2n+1)=d

=>3n+2:d                  =>2.(3n+2):d          =>6n+4:d

    2n+1:d                      3.(2n+1):d               6n+3:d

=>(6n+4)-(6n+3):d

        1:d

=>d=1

Vậy 3n+2/2n+1 là phân số tối giản.

Câu C bạn tự làm nhé!

Chúc bạn may mắn!

mọi người giúp mình vs

\(A=2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n+3\right)\)

\(A=2n\left[n\left(n+1\right)-\left(n^2+n+3\right)\right]\)

\(A=2n\left(n^2+n-n^2-n-3\right)\)

\(A=2n\cdot\left(-3\right)\)

\(A=-6n⋮6\)(đpcm)