a/ ĐKXĐ \(x\ge1\)

\(\Leftrightarrow2x+1+2\sqrt{x^2+x-2}< 3x+3\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2+x-2}< x+2\)

\(\Leftrightarrow4\left(x^2+x-2\right)< \left(x+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2< 12\Leftrightarrow x^2< 4\Rightarrow-2< x< 2\)

Vậy nghiệm của BPT là \(1\le x< 2\)

b/ ĐKXĐ: \(x\ge3\)

\(\Leftrightarrow3x-2+2\sqrt{2x^2-5x-3}< 5x-4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2-5x-3}< x-1\)

\(\Leftrightarrow2x^2-5x-3< x^2-2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x-4< 0\Rightarrow-1< x< 4\)

\(\Rightarrow3\le x< 4\)

c/ ĐKXĐ: \(x\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow3x+1+2\sqrt{2x^2+3x-2}\ge6x-1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{2x^2+3x-2}\ge3x-2\)

- Với \(\frac{1}{2}\le x< \frac{2}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng

- Với \(x\ge\frac{2}{3}\) hai vế ko âm

\(\Leftrightarrow4\left(2x^2+3x-2\right)\ge\left(3x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-24x+12\le0\) \(\Rightarrow\frac{2}{3}\le x\le12+2\sqrt{33}\)

Nghiệm của BPT là \(\frac{1}{2}\le x\le12+2\sqrt{33}\)

a/ \(-1\le x\le1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-x\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\left(\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-1\right)\ge0\)

Do \(0< \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\le\sqrt{2\left(1+x+1-x\right)}=2\)

\(\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\ge1\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-1\ge0\)

\(\Rightarrow x\ge0\)

Vậy nghiệm của BPT là \(0\le x\le1\)

b/ \(\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}\)

- Với \(x=1\) thỏa mãn

- Với \(x\ge4\Leftrightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{x-3}\ge2\sqrt{x-4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}-\sqrt{x-4}+\sqrt{x-3}-\sqrt{x-4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{x-2}+\sqrt{x-4}}+\frac{1}{\sqrt{x-3}+\sqrt{x-4}}\ge0\) (luôn đúng)

- Với \(x< 1\Rightarrow\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}\ge2\sqrt{4-x}\)

Tương tự bên trên ta có BPT luôn sai

Vậy nghiệm của BPT đã cho là \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x\ge4\end{matrix}\right.\)

Bạn xem lại ĐKĐB. Nếu $x\geq \frac{-1}{3}$ thì mình nghi ngờ $\sqrt{3x-1}$ của bạn viết là $\sqrt{3x+1}$Còn nếu đúng là $\sqrt{3x-1}$ thì ĐK cần là $x\geq \frac{1}{3}$.

2) ĐK: \(x^2+5x+2\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\le\frac{-5-\sqrt{17}}{2}\\x\ge\frac{-5+\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.\)

bpt \(\Leftrightarrow x^2+5x+4-3\sqrt{x^2+5x+2}< 6\)

Đặt \(t=\sqrt{x^2+5x+2}\left(t\ge0\right)\) , bất pt trở thành:

\(t^2+2-3t< 6\Leftrightarrow t^2-3t-4< 0\Leftrightarrow-1< t< 4\)

Kết hợp điều kiện được: \(0\le t< 4\Rightarrow0\le\sqrt{x^2+5x+2}< 4\Leftrightarrow x^2+5x+2< 16\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x-14< 0\Leftrightarrow-7< x< 2\)

Kết hợp điều kiện, bất pt đã cho có tập nghiệm:

(-7; \(\frac{-5-\sqrt{17}}{2}\)] \(\cup\) [ \(\frac{-5+\sqrt{17}}{2}\); 2)