§5. Dấu của tam thức bậc hai

Điều kiện xác định :\(x\ne-1\)

Ta có : \(\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=1\Rightarrow\left(2-\sqrt{3}\right)=\left(2+\sqrt{3}\right)^{-1}\)

\(\Rightarrow\) Bất phương trình : \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{x-1}\ge\left(2+\sqrt{3}\right)^{\frac{1-x}{x+1}}\)

                               \(\Leftrightarrow x-1\ge\frac{1-x}{x+1}\)

                               \(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x+1}\ge0\)

                               \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}-2\le x< -1\\x\ge1\end{array}\right.\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(S=\)[ -2; -1) \(\cup\) [1; \(+\infty\))

\(\left(x^2-2x\right)^2-2\left(x-1\right)^2-1\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)^2-2\left(x^2-2x+1\right)-1\ge0\)

Đặt \(t=x^2-2x\), ta được \(t^2-2t-3\ge0\)

Bất phương trình này có nghiệm \(\left[\begin{array}{nghiempt}t\le-1\\t\ge3\end{array}\right.\)

Do đó \(\left(x^2-2x\right)^2-2\left(x-1\right)^2-1\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x^2-2x\le-1\\x^2-2x-3\ge0\end{array}\right.\)

                                                          \(\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x\le-1\) hoặc \(x\ge3\)

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 

S =(\(-\infty;-1\)] \(\cup\left\{1\right\}\cup\) [3;\(+\infty\))

a) F(x) = \(-x^2\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+2\right)=\left(1-x\right)x^2\left(x+2\right)^2\\ \)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\ge0\\\left(x+2\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) => dấu biểu thức chỉ phụ thuộc vào thừa số (1-x)

F(x) =0 khi x={-2,0,1}

F(x) > 0 khi x<1 và khác -2 và 0

f(x) <0 khi x> 1

Tử f(x) =x^2(x^2-3x+2) =x^2(x-1)(x-2)

tương tự a) dấu của tử phụ thuộc (x-1)(x-2)

Mẫu f(x) =x^2 -x-30 =(x-5)(x+6)

Phần hỗ trợ Lập bảng đây khó thao tác

=> viết bằng hệ {điểm tới hạn xet x={-6,0,1,2,5}

Khi => \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)=>f(x) =0

Khi \(\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-6\end{matrix}\right.\) => f(x) không xác định

Khi \(x< -6\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}Tf\left(x\right)>0\\Mf\left(x\right)>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow f\left(x\right)>0\)

khi -6<x<1 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}Tf\left(x\right)>0\\Mf\left(x\right)< 0\end{matrix}\right.\) => f(x) <0

khi 1<x<2 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}Tf\left(x\right)< 0\\Mf\left(x\right)< 0\end{matrix}\right.\) => f(x) >0

khi 2<x<5 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}Tf\left(x\right)>0\\Mf\left(x\right)< 0\end{matrix}\right.\) => f(x) <0

khi x>5 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}Tf\left(x\right)>0\\Mf\left(x\right)>0\end{matrix}\right.\) => f(x) >0

a) Bpt<=>\(x^2-2\left(1+\sqrt{2}\right)x+\left(1+\sqrt{2}\right)^2>0\)

<=>\(\left(x-1-\sqrt{2}\right)^2>0\)

<=>\(x-1-\sqrt{2}\ne0\)

<=>\(x\ne1+\sqrt{2}\)

Mình cần lắm lắm. Help me!!!

ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\le-2\\x\ge7\end{matrix}\right.\)

- Với \(x\le-2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng

- Với \(x\ge7\) hai vế ko âm, bình phương 2 vế:

\(\Leftrightarrow x^2-5x-14\ge4x^2-4x+1\)

\(\Leftrightarrow3x^2+x+15\le0\) (vô nghiệm)

Vậy nghiệm của BPT đã cho là \(x\le-2\)

\(\left\{\begin{matrix}x+4m^2\le2mx+1\\3x+2>2x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\left(2m-1\right)x\ge4m^2-1\\3x-2x>-3\end{matrix}\right.\\ \)

BPT(2) có nghiệm x>-3 vậy bpt(1) phải có nghiệm x>-3 (*)

TH1. 2m-1=0 (1) \(0.x\ge4.\frac{1}{4}-1=0\)

đúng với mọi x => m=1/2 nhận

TH2. 2m-1>0 hay m>1/2

(1) có nghiệm \(x\ge\frac{4m^2-1}{2m-1}\\ \) cùng chiều với(*)=> Hệ có nghiệm khi m>=1/2

TH3. 2m-1<0 nghiệm của (1) là \(x\le\frac{4m^2-1}{2m-1}\\ \)

Bất ĐThức ngược chiều với (*) do vậy m thỏa mãn thêm BPT

\(\frac{4m^2-1}{2m-1}>-3\Leftrightarrow\frac{4m^2-1+3\left(2m-1\right)}{2m-1}>0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+6m+2>0\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(2m+1\right)>0\Rightarrow\left[\begin{matrix}m< -1\\m>-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Kết hợp với (**) m<1/2=> m <-1/2

Kết luận

Để Hệ có nghiệm \(\left[\begin{matrix}m\ge\frac{1}{2}\\m< \frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left(2m-1\right)x^2-3mx+m-1=0\)

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(\Delta=m^2+12m-4\)

Theo định lý Viet

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=\dfrac{3m}{2m-1}\\P=x_1x_2=\dfrac{m-1}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Để pt có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+12m-4>0\\\dfrac{3m}{2m-1}>0\\\dfrac{m-1}{2m-1}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left(-\infty;-6-2\sqrt{10}\right)\cup\left(-6+2\sqrt{10};+\infty\right)\\m\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(\dfrac{1}{2};+\infty\right)\\m\in\left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(1;+\infty\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m\in\left(-\infty;-6-2\sqrt{10}\right)\cup\left(1;+\infty\right)\)

\(f\left(x\right)=2x^2-\left(m-9\right)x+m^2+3m+4\ge0\)(10

Để (1) có nghiệm f(x) phải có nghiệm

f(x) phải có nghiệm => \(\Delta_x\ge0\)\(\Rightarrow\left(m-9\right)^2-8\left(m^2+3m+4\right)\ge0\)

\(\Delta_x=m^2-18m+81-8m^2-24m-32=-7m^2-42m+49\ge0\)

\(\Leftrightarrow g\left(m\right)=7\left(m^2+6m-7\right)\le0\) (a+b+c=0)

\(g\left(m\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=1\\m_2=-7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta_x\ge0\Leftrightarrow-7\le m\le1\)

Kết luận \(-7\le m\le1\)

f(x) là parabol quay lên --> phải có nghiệm 0, 1

hệ số a=1

=> \(\Delta>0\Rightarrow m^2-m+3>0\)

=> đúng với mọi m

f(x) phải có nghiệm nằm ngoài [0,1]

f(x) pa ra pol quay lện

f(0) <=0=m-2 =0 => m<= 2

f(1) <=0=0=> 1-2(m-1) +m-2 =0 => 1-m<=0 => m>=1

Kết luận

\(1\le m\le2\)

Để phương trình trên vô nghiệm thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta'< 0\end{matrix}\right.hoặc\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\Delta'< 0\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>1\cup m< 1\\\left(m-3\right)^2-\left(m-1\right)\left(4m+2\right)< 0\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\-3m^2-4m+11< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m< \dfrac{2+\sqrt{37}}{-3}\cup m>\dfrac{2-\sqrt{37}}{-3}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Trường hợp 1: a=0 <=>m=1

pt\(\Leftrightarrow-4x+6=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\left(loại\right)\)

Trường hợp 2: \(a\ne0\Leftrightarrow m\ne1\)

Để pt vô nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2-\left(m-1\right)\left(4m+2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-3m^2-4m+11< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{-2-\sqrt{37}}{3}\\m>\dfrac{-2+\sqrt{37}}{3}\end{matrix}\right.\)

vậy ...........................................