§3. Dấu của nhị thức bậc nhất

I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

1. Nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất đối với \(x\) là biểu thức dạng \(f\left(x\right)=ax+b\) trong đó \(a,b\) là hai số đã cho, \(a\ne0\).

Ví dụ: +) \(f\left(x\right)=-2x+3\)  ;

          +) \(g\left(x\right)=-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{5}{6}\)  ;

          +) \(h\left(x\right)=\sqrt{2}x+1-\sqrt{2}\)  ;  ...

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

Định lí:

Nhị thức \(f\left(x\right)=ax+b\) có giá trị cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x\) lấy các giá trị trong khoảng \(\left(-\dfrac{b}{a};+\infty\right)\), trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x\) lấy các giá trị trong khoảng \(\left(-\infty;-\dfrac{b}{a}\right)\).

Chứng minh:

Ta có: \(f\left(x\right)=ax+b=a\left(x+\dfrac{b}{a}\right)\)

Với \(x>-\dfrac{b}{a}\) thì \(x+\dfrac{b}{a}>0\) nên \(f\left(x\right)=a\left(x+\dfrac{b}{a}\right)\) cùng dấu với hệ số \(a\)

Với \(x< -\dfrac{b}{a}\) thì \(x+\dfrac{b}{a}< 0\) nên \(f\left(x\right)=a\left(x+\dfrac{b}{a}\right)\) trái dấu với hệ số \(a\).

Kết quả trên được thể hiện qua bảng:

Ta gọi bảng này là bảng xét dấu nhị thức \(f\left(x\right)=ax+b\).

Khi \(x=-\dfrac{b}{a}\) nhị thức \(f\left(x\right)=ax+b\) có giá trị bằng \(0\), ta nói số \(x_0=-\dfrac{b}{a}\) là nghiệm của nhị thức \(f\left(x\right)=ax+b\).

Nghiệm \(x_0=-\dfrac{b}{a}\) của nhị thức chia trục số thành hai khoảng:

Minh hoạ bằng đồ thị:

3. Áp dụng

Ví dụ 1: Xét dấu của nhị thức \(f\left(x\right)=-2x+3\).

Giải:

Ta có: Hệ số của \(x\) là \(-2< 0\)

Do đó ta có bảng xét dấu:

Như vậy:  Nghiệm của nhị thức là \(x=\dfrac{3}{2}\)

                 Nhị thức \(f\left(x\right)=-2x+3>0\) khi \(x\in\left(-\infty;\dfrac{3}{2}\right)\)

                 Nhị thức \(f\left(x\right)=-2x+3< 0\) khi \(x\in\left(\dfrac{3}{2};+\infty\right)\)

Ví dụ 2: Xét dấu của nhị thức \(f\left(x\right)=mx-1\) với \(m\) là một tham số đã cho.

Giải:

Nếu \(m=0\) thì \(f\left(x\right)=-1< 0\)  với mọi \(x\).

Nếu \(m\ne0\) thì \(f\left(x\right)\) là một nhị thức bậc nhất có nghiệm \(x_0=\dfrac{1}{m}\)

Với \(m< 0\), ta có bảng xét dấu:

Với \(m>0\), ta có bảng xét dấu:

II. XÉT DẤU TÍCH, THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT

Giả sử \(f\left(x\right)\) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong \(f\left(x\right)\) ta suy ra được dấu của \(f\left(x\right)\). Trường hợp \(f\left(x\right)\) là một thương cũng được xét tương tự.

Ví dụ 1: Xét dấu của biểu thức \(A=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\).

Giải:

Các nhị thức \(x-1\) và \(x+2\) lần lượt có nghiệm là \(1\) và \(-2\), ta viết hai nghiệm này theo thứ tự tăng dần trên bảng xét dấu. Hai nghiệm này chia khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\) thành ba khoảng. Ta xét dấu của mỗi nhị thức trên từng khoảng này.

Từ đó ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy:

\(A>0\) khi \(x\in\left(-\infty;-2\right)\) hoặc \(x\in\left(1;+\infty\right)\)

\(A< 0\) khi \(x\in\left(-2;1\right)\)

\(A=0\) khi \(x=1\) hoặc \(x=-2\)

Ví dụ 2: Xét dấu của biểu thức \(B=\dfrac{\left(4x-1\right)\left(x+2\right)}{-3x+5}\).

Giải:

Biểu thức \(B\) không xác định khi \(x=\dfrac{5}{3}\). Các nhị thức \(4x-1\), \(x+2\), \(-3x+5\) viết theo thứ tự tăng là \(-2,\dfrac{1}{4},\dfrac{5}{3}\). Các nghiệm này chia khoảng \(\left(-\infty;+\infty\right)\) thành bốn khoảng, trong mỗi khoảng các nhị thức đang xét có dấu hoàn toàn xác định.

Từ đó ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy:

\(B>0\) khi \(x\in\left(-\infty;-2\right)\) hoặc \(x\in\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{5}{3}\right)\)

\(B< 0\) khi \(x\in\left(-2;\dfrac{1}{4}\right)\) hoặc \(x\in\left(\dfrac{5}{3};+\infty\right)\)

\(B=0\) khi \(x=-2\) hoặc \(x=\dfrac{1}{4}\)

\(B\) không xác định khi \(x=\dfrac{5}{3}\) (trong bảng kí hiệu bởi \(|\)\(|\))

III. ÁP DỤNG VÀO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Giải bất phương trình \(f\left(x\right)>0\) thực chất là xét xem biểu thức \(f\left(x\right)\) nhận giá trị dương với những giá trị nào của \(x\) (do đó cũng biết \(f\left(x\right)\) nhận giá trị âm với những giá trị nào của \(x\)), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức \(f\left(x\right)\).

1. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Ví dụ 1: Giải bất phương trình \(\dfrac{1}{1-x}\ge1\).

Giải:

Ta biến đổi bất phương trình đã cho:

\(\dfrac{1}{1-x}\ge1\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1-x}-1\ge0\Leftrightarrow\dfrac{1-\left(x-1\right)}{1-x}\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x}{1-x}\ge0\)

Xét dấu của biểu thức \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{1-x}\):

Từ bảng xét dấu ta thấy \(\dfrac{x}{1-x}\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(0\le x< 1\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(0\le x< 1\).

Ví dụ 2: Giải bất phương trình \(x^3-4x< 0\).

Giải:

Ta có: \(x^3-4x< 0\) \(\Leftrightarrow x\left(x^2-4\right)< 0\Leftrightarrow\) \(x\left(x-2\right)\left(x+2\right)< 0\)

Ta có bảng xét dấu của biểu thức \(f\left(x\right)=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\):

Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left(x\right)=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)< 0\) khi \(x< -2\) hoặc \(0< x< 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=\left(-\infty;-2\right)\cup\left(0;2\right)\).

2. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \(\left|-2x+1\right|+x-3< 5\).

Giải:

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:

  \(\left|-2x+1\right|=\left\{{}\begin{matrix}-2x+1.\left(-2x+1\ge0\right)\\-\left(-2x+1\right).\left(-2x+1< 0\right)\end{matrix}\right.\)

Do đó ta xét bất phương trình trong hai khoảng:

Với \(x\le\dfrac{1}{2}\) ta có hệ bất phương trình: 

   \(\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{2}\\\left(-2x+1\right)+x-3< 5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{2}\\-x< 7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-7< x\le\dfrac{1}{2}\) 

Với \(x>\dfrac{1}{2}\) ta có hệ bất phương trình:

   \(\left\{{}\begin{matrix}x>\dfrac{1}{2}\\-\left(-2x+1\right)+x-3< 5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>\dfrac{1}{2}\\x< 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}< x< 3\)

Tổng hợp lại, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng \((-7;\dfrac{1}{2}]\) và \(\left(\dfrac{1}{2};3\right)\), đó là khoảng \(\left(-7;3\right)\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=\left(-7;3\right)\).

Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng \(\left|f\left(x\right)\right|\le a\) và \(\left|f\left(x\right)\right|\ge a\) với \(a>0\) đã cho:

            \(\left|f\left(x\right)\right|\le a\Leftrightarrow-a\le f\left(x\right)\le a\)  (với \(a>0\))

            \(\left|f\left(x\right)\right|\ge a\Leftrightarrow f\left(x\right)\le-a\) hoặc \(f\left(x\right)\ge a\)  (với \(a>0\))