§1. Bất đẳng thức

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

1. Khái niệm bất đẳng 

Các mệnh đề có dạng "\(a>b\)" hoặc "\(a< b\) " được gọi là bất đẳng thức.

Ví dụ: +) \(\dfrac{5}{6}>\dfrac{2}{3}\) ;

          +) \(\left(1+\sqrt{2}\right)^2< 4+2\sqrt{2}\)  ;

          +) \(\sqrt[3]{71}>\sqrt[3]{56}\) ; ...

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề "\(a< b\Rightarrow c< d\)" đúng thì ta nói bất đẳng thức "\(c< d\)" là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức "\(a< b\)" và cũng viết là \(a< b\Rightarrow c< d\).

Ví dụ: +) \(2x< 2y\Rightarrow x< y\)  ;

           +) \(m^3>n^3\Rightarrow m>n\) ; ...

Ta đã biết một số tính chất:

Tính chất bắc cầu: \(a< b\) và \(b< c\) \(\Rightarrow\) \(a< c\)

Tính chất cộng hai vế bất đẳng thức với một số: \(a< b\) và \(c\) tùy ý \(\Rightarrow\) \(a+c< b+c\)

Nếu bất đẳng thức "\(a< b\)" là hệ quả của bất đẳng thức "\(c< d\)" và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là "\(a< b\Leftrightarrow c< d\)".

Ví dụ: \(m+1>n+1\Leftrightarrow m>n\)

3. Tính chất của bất đẳng thức

Khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức tóm gọn trong bảng sau:

Chú ý: Ta còn gặp các mệnh đề dạng \(a\le b\) hoặc \(a\ge b\). Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng \(a< b\) hoặc \(a>b\) là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng với các bất đẳng thức không ngặt.

II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI)

1. Bất đẳng thức Cô-si*

Định lí: 

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.

                        \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2},\forall a,b\ge0\)

Đẳng thức \(\sqrt{ab}=\dfrac{a+b}{2}\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\).

Chứng minh:

Ta có: \(\sqrt{ab}-\dfrac{a+b}{2}=-\dfrac{1}{2}\left(a+b-2\sqrt{ab}\right)=-\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\le0\), \(\forall a,b\ge0\)

Vậy \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2},\forall a,b\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2=0\) tức là \(a=b\).

Ví dụ 1: Với 2 số \(x,y\) không âm, chứng minh rằng: \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\) (1).

Giải:

Nếu \(x=y=0\), VT(1) = VP(1) = 0

Nếu \(x,y\) không đồng thời bằng 0 ta có:

           \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\) \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)

                                             \(\Rightarrow x^2-xy+y^2\ge xy\)

                                             \(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\) (BĐT Co-si)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\).

Ví dụ 2: Cho số thực \(x\) thoả mãn \(2\le x\le3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=-3x^2+15x-18\).

Giải:

Ta có: \(P=-3x^2+15x-18\) \(=3\left(-x^2+5x-6\right)=3\left(x-2\right)\left(3-x\right)\)

Do \(2\le x\le3\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\3-x\ge0\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 số không âm là \(\left(x-2\right)\) và \(\left(3-x\right)\) ta được: 

          \(\left(x-2\right)\left(3-x\right)\le\dfrac{x-2+3-x}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(P=3\left(x-2\right)\left(3-x\right)\le3.\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x-2=3-x\Leftrightarrow2x=5\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\dfrac{3}{2}\) đạt được khi \(x=\dfrac{5}{2}\).

2. Các hệ quả

- Hệ quả 1: 

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. 

                        \(a+\dfrac{1}{a}\ge2,\forall a>0\)

Ví dụ 3: Cho số thực đương \(x\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\dfrac{9x^2-7x+1}{3x}\).

Giải:

Với số thực dương \(x\) ta có:

\(A=\dfrac{9x^2-7x+1}{3x}\) \(=\dfrac{9x^2}{3x}+\dfrac{1}{3x}-\dfrac{7x}{3x}=3x+\dfrac{1}{3x}-\dfrac{7}{3}\) \(=\left(3x+\dfrac{1}{3x}\right)-\dfrac{7}{3}\)

Áp dụng hệ quả 1 với số dương \(3x\) ta có: \(3x+\dfrac{1}{3x}\ge2\).

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow3x=\dfrac{1}{3x}\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{9}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\) (do \(x\) dương)

Do đó: \(A\ge2-\dfrac{7}{3}=-\dfrac{1}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \(-\dfrac{1}{3}\) đạt được khi \(x=\dfrac{1}{3}\).

- Hệ quả 2: 

Nếu \(x,y\) cùng dương và có tổng không đổi thì tích \(xy\) lớn nhất khi và chỉ khi \(x=y\).

Chứng minh: Đặt \(S=x+y\). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{S}{2}\)

Do đó \(xy\le\dfrac{S^2}{4}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{S}{2}\).

Vậy tích \(xy\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{S^2}{4}\) khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{S}{2}\).

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

- Hệ quả 3: 

Nếu \(x,y\) cùng dương và có tích không đổi thì tổng \(x+y\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(x=y\).

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

III. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất sau:

Ví dụ 4: Cho số thực \(x\in\left[-2;0\right]\). Chứng minh rằng \(\left|x+1\right|\le1\).

Giải:

Ta có \(x\in\left[-2;0\right]\) \(\Rightarrow-2\le x\le0\) 

                           \(\Rightarrow-2+1\le x+1\le0+1\)

                           \(\Rightarrow-1\le x\le1\)

                           \(\Rightarrow\) \(\left|x+1\right|\le1\) (Đpcm)