Sửa đề: Cho ΔABC vuông tại A

a; Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(BH\cdot BC=BA^2\)

b: Xét ΔCHA vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{HCA}\) chung

Do đó: ΔCHA~ΔCAB

=>\(\frac{CH}{CA}=\frac{CA}{CB}\)

=>\(CH\cdot CB=CA^2\)

c: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\hat{HAB}=\hat{HCA}\left(=90^0-\hat{HBA}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

=>\(\frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

d: \(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{BH\cdot BC}+\frac{1}{CH\cdot BC}\)

\(=\frac{BH+CH}{BH\cdot CH\cdot BC}=\frac{BC}{BH\cdot CH\cdot BC}=\frac{1}{BH\cdot CH}\)

\(=\frac{1}{AH^2}\)

e: Xét ΔBEA vuông tại E và ΔBAM vuông tại A có

góc EBA chung

Do đó: ΔBEA~ΔBAM

=>\(\frac{BE}{BA}=\frac{BA}{BM}\)

=>\(BE\cdot BM=BA^2\)

=>\(BE\cdot BM=BH\cdot BC\)

=>\(\frac{BE}{BC}=\frac{BH}{BM}\)

Xét ΔBEH và ΔBCM có

\(\frac{BE}{BC}=\frac{BH}{BM}\)

góc EBH chung

Do đó: ΔBEH~ΔBCM

=>\(\hat{BEH}=\hat{BCM}\)

mà \(\hat{BCM}=\hat{BAH}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{BEH}=\hat{BAH}\)

??

\(AB^2-AC^2=AD^2+DB^2-AC^2-DC^2=DB^2-DC^2\)

\(EB^2-EC^2=ED^2+DB^2-ED^2-DC^2=DB^2-DC^2\)

Do đó: \(AB^2-AC^2=EB^2-EC^2\)

trong tg vuông dg trung tuyen thuoc canh huyen = 1/2 canh huyen

( sach gk có cm)

a, Sử dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông HAB và HAC để có đpcm

b, 1. Chứng minh tương tự câu a)

2. Sử dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHM

Đề sai rồi bạn

Xét tam giác BKI vuông tại I có:

\(BK^2=KI^2+BI^2\left(Pytago\right)\Rightarrow BI^2=BK^2-KI^2\left(1\right)\)

Xét tam giác AIK vuông tại I có:

\(AK^2=AI^2+IK^2\left(Pytago\right)\Rightarrow AI^2=AK^2-IK^2\left(2\right)\)

Xét tam giác ACK vuông tại C có:

\(AK^2=AC^2+CK^2\left(Pytago\right)\Rightarrow AC^2=AK^2-CK^2\left(3\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AI^2-BI^2=\left(AK^2-IK^2\right)-\left(BK^2-IK^2\right)=AK^2-BK^2\)

Mà \(BK=CK\Rightarrow BK^2=CK^2\) (do K là trung điểm BC)

\(\Rightarrow AI^2-BI^2=AK^2-CK^2=AC^2\)(do (3))

Tham Khảo e nhá chj ngu ném ko bik làm☹

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-m-la-trung-diem-bc-chung-minh-ab2-ac2-2am2-bc22.249563555147

Kẻ AH vuông góc BC.

Xét tam giác AHM vuông tại H (^AHM = 90⁰) có:

AM² = AH² + HM² (định lý Pytago).

Xét tam giác AHB vuông tại H (^AHB = 90⁰) có:

AB² = AH² + BH² (định lý Pytago).

Xét tam giác AHC vuông tại H (^AHC = 90⁰) có:

AC² = AH² + CH² (định lý Pytago).

Ta có: BH = BM - HM.

          CH = CM + HM. 

Vì M là trung điểm của BC (gt) => BM = CM; BM = \(\dfrac{BC}{2}\) => BM² = \(\dfrac{BC^2}{4}\).

Ta có: AB² + AC² = AH² + BH² + AH² + CH².

          AB² + AC² = AH² + AH² + BH² + CH².

                            = 2AH² + (BM - HM)² + (CM + HM)².

                            = 2AH² + BM² - 2BM.HM + HM² + CM² + 2CM.HM + HM².

                            = 2AH² + BM² - 2BM.HM + HM² + BM² + 2BM.HM + HM².

                            = 2AH² + 2HM² + 2BM².

                            = 2(AH² + HM²) + 2\(\dfrac{BC^2}{4}\).

          AB² + AC² = 2AM² + \(\dfrac{BC^2}{2}\) (đpcm).