Question

Cho ΔABC vg tại C, K là trung điểm BC . Kẻ KI vg góc với AB tại I. Chứng minh AI² - BI² = AC²

Answer 1

Xét tam giác BKI vuông tại I có:

\(BK^2=KI^2+BI^2\left(Pytago\right)\Rightarrow BI^2=BK^2-KI^2\left(1\right)\)

Xét tam giác AIK vuông tại I có:

\(AK^2=AI^2+IK^2\left(Pytago\right)\Rightarrow AI^2=AK^2-IK^2\left(2\right)\)

Xét tam giác ACK vuông tại C có:

\(AK^2=AC^2+CK^2\left(Pytago\right)\Rightarrow AC^2=AK^2-CK^2\left(3\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow AI^2-BI^2=\left(AK^2-IK^2\right)-\left(BK^2-IK^2\right)=AK^2-BK^2\)

Mà \(BK=CK\Rightarrow BK^2=CK^2\) (do K là trung điểm BC)

\(\Rightarrow AI^2-BI^2=AK^2-CK^2=AC^2\)(do (3))