\(A^2=9-x+2\sqrt{\left(2x+5\right)\left(4-3x\right)}\ge9-x\ge9-\frac{4}{3}=\frac{23}{3}\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{\frac{23}{3}}\Rightarrow a+b=26\)

\(A=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\left(\sqrt{100}+\sqrt{99}\right)}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(=\sqrt{100}-1=9\)

\(B=\frac{2}{2}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{35}}\)

\(B>\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}\)

\(B>2\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+...+\frac{\sqrt{36}-\sqrt{35}}{\left(\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\left(\sqrt{36}+\sqrt{35}\right)}\right)\)

\(B>2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)

\(B>2\left(\sqrt{36}-1\right)=10>9=A\)

\(\Rightarrow B>A\)

Để biểu thức B có nghĩa thì \(xy\ne0\)

Khi đó ta có:

\(x^3+y^3=2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)^2=4x^4y^4\)

\(\Leftrightarrow x^6+y^6+2x^3y^3=4x^4y^4\)

\(\Leftrightarrow x^6+y^6-2x^3y^3=4x^4y^4-4x^3y^3\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)^2=4x^4y^4\left(1-\frac{1}{xy}\right)\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{xy}=\left(\frac{x^3-y^3}{2x^2y^2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\left|\frac{x^3-y^3}{2x^2y^2}\right|\) là một số hữu tỉ

2

a.

\(x^4+x^2+1>x^4\)

\(x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=\left(x^2+1\right)^2-x^2< \left(x^2+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(x^2\right)^2< y^2< \left(x^2+1\right)^2\)

Do \(y^2\) nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp nên ko thể là SCP

Vậy pt ko có nghiệm nguyên dương (nghiệm nguyên thì có, nguyên dương thì không)

b. ĐKXĐ: ...

\(x^2+6x+10-2\sqrt{2x+5}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+4+\left(2x+5-2\sqrt{2x+5}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(\sqrt{2x+5}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2=0\\\sqrt{2x+5}-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=-2\)

Pt này vô nghiệm, em kiểm tra lại đề bài

ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}-2\le x\le0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

- Với \(-2\le x\le0\Rightarrow2x^2+6x-2< 0\) nên pt vô nghiệm

- Với \(x\ge1\) pt tương đương:

\(5\sqrt{\left(x^2+2x\right)\left(x-1\right)}=2x^2+6x-2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+2x}=a\\\sqrt{x-1}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5ab=2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-b\right)\left(a-2b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2a=b\\a=2b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{x^2+2x}=\sqrt{x-1}\\\sqrt{x^2+2x}=2\sqrt{x-1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4\left(x^2+2x\right)=x-1\\x^2+2x=4\left(x-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4x^2+7x+1=0\\x^2-2x+4=0\end{matrix}\right.\)

Với \(x\ge1\) cả 2 pt nói trên đều vô nghiệm (pt dưới luôn luôn vô nghiệm)

Chắc là người ta đề nghĩ rằng pt \(4x^2+7x+1=0\) có nghiệm, nhưng thực ra các nghiệm này ko thỏa mãn

Lời giải:

a) Đặt \(x^3=a\) thì pt trở thành:

\(a^2+2003a-2005=0\)

\(\Leftrightarrow (a+\frac{2003}{2})^2=2005+\frac{2003^2}{2^2}=\frac{4020029}{4}\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a+\frac{2003}{2}=\sqrt{\frac{4020029}{4}}\\ a+\frac{2003}{2}=-\sqrt{\frac{4020029}{4}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=\sqrt{\frac{4020029}{4}}-\frac{2003}{2}\approx 1\\ a=-\sqrt{\frac{4020029}{4}}-\frac{2003}{2}\approx -2004\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\sqrt[3]{a}\approx 1\\ x=\sqrt[3]{a}\approx \sqrt[3]{-2004}\end{matrix}\right.\)

b)

Đặt \(x^2=a(a\geq 0)\)

PT trở thành: \(\sqrt{2}a^2-2(\sqrt{2}+\sqrt{3})a+\sqrt{12}=0\)

\(\Delta'=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-\sqrt{2}.\sqrt{12}=5\)

Theo công thức nghiệm của pt bậc 2 thì pt có 2 nghiệm:

\(\left\{\begin{matrix} a_1=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\ a_2=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)

Do đó \(x=\pm \sqrt{a}\in\left\{\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}};\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}\right\}\)

Câu 2:

Đặt \(x^2=a\). PT ban đầu trở thành:

\(a^2+a+m=0(*)\)

\(\bullet \)Để pt ban đầu có 3 nghiệm pb thì $(*)$ phải có một nghiệm $a=0$ và một nghiệm $a>0$

Để $a=0$ là nghiệm của $(*)$ thì \(0^2+0+m=0\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó: \((*)\Leftrightarrow a^2+a=0\). Ta thấy nghiệm còn lại là $a=-1< 0$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ để pt ban đầu có 3 nghiệm pb.

\(\bullet\) Để pt ban đầu có 4 nghiệm pb thì $(*)$ phải có 2 nghiệm dương phân biệt

Mà theo định lý Viete, nếu $(*)$ có 2 nghiệm pb $a_1,a_2$ thì:\(a_1+a_2=-1< 0\) nên 2 nghiệm không thể đồng thời cùng dương.

Vậy không tồn tại $m$ để pt ban đầu có 4 nghiệm phân biệt.

Biểu thức b chắc ghi nhầm, 1 căn dấu trừ thì hợp lý

\(a^3=6+3a.\sqrt[3]{9-4.2}=3a+6\Rightarrow a^3-3a=6\)

\(b^3=34+3b.\sqrt{17^2-12^2.2}=3b+34\Rightarrow b^3-3b=34\)

\(\Rightarrow A=a^3-3a+b^3-3b=6+34=40\)

2/ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y^2-x^2=1\\2x^3-y^3=1.\left(2y-x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2x^3-y^3=\left(2y^2-x^2\right)\left(2y-x\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+2x^2y+2xy^2-5y^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+3xy+5y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\Rightarrow2x^2-x^2=1\Rightarrow...\\x^2+3xy+5y^2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1): \(\Leftrightarrow\left(x+\frac{3y}{2}\right)^2+\frac{11y^2}{4}=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) thay vào hệ ko thỏa mãn (loại)

\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2\left(m+n\right)=mn\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=m^2-4n\\\Delta_2=n^2-4m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\Delta_1+\Delta_2=m^2+m^2-4\left(m+n\right)\)

\(=m^2+n^2-2mn=\left(m-n\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) Luôn có ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1\) hoặc \(\Delta_2\) không âm nên luôn có ít nhất 1 trong 2 pt trên có nghiệm \(\Rightarrow\) pt luôn luôn có nghiệm

\(P=\sum\frac{\sqrt{3}.a}{\sqrt{3a}.\sqrt{2b+2c-a}}\ge\sum\frac{2\sqrt{3}a}{3a+2b+2c-a}=\sum\frac{2\sqrt{3}a}{2\left(a+b+c\right)}=\sum\frac{\sqrt{3}a}{a+b+c}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay tam giác đã cho đều