Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Niii

Câu 1 : a, Cho A = \(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\) B = \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}}\) so sánh A và B

b, cho x,y ∈ Q sao , thỏa mãn x3 + y3=2x2y2 .CMR : B = \(\sqrt{1-\frac{1}{xy}}\) là số hữu tỉ .

Câu 2 : a, tìm nghiệm nguyên dương của pt x4+x2+1=y2

b, giải pt \(\left(x+2\right)\left(x+4\right)=2\sqrt{2x+5}-2\)

Câu 3 : cho các số không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTLN và GTNN của bth P= \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 10 2020 lúc 20:24

\(A=\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\left(\sqrt{100}+\sqrt{99}\right)}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(=\sqrt{100}-1=9\)

\(B=\frac{2}{2}+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{35}}\)

\(B>\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}\)

\(B>2\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}+...+\frac{\sqrt{36}-\sqrt{35}}{\left(\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\left(\sqrt{36}+\sqrt{35}\right)}\right)\)

\(B>2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)

\(B>2\left(\sqrt{36}-1\right)=10>9=A\)

\(\Rightarrow B>A\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 10 2020 lúc 20:24

Để biểu thức B có nghĩa thì \(xy\ne0\)

Khi đó ta có:

\(x^3+y^3=2x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3\right)^2=4x^4y^4\)

\(\Leftrightarrow x^6+y^6+2x^3y^3=4x^4y^4\)

\(\Leftrightarrow x^6+y^6-2x^3y^3=4x^4y^4-4x^3y^3\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-y^3\right)^2=4x^4y^4\left(1-\frac{1}{xy}\right)\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{xy}=\left(\frac{x^3-y^3}{2x^2y^2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\left|\frac{x^3-y^3}{2x^2y^2}\right|\) là một số hữu tỉ

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 10 2020 lúc 20:25

2

a.

\(x^4+x^2+1>x^4\)

\(x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=\left(x^2+1\right)^2-x^2< \left(x^2+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(x^2\right)^2< y^2< \left(x^2+1\right)^2\)

Do \(y^2\) nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp nên ko thể là SCP

Vậy pt ko có nghiệm nguyên dương (nghiệm nguyên thì có, nguyên dương thì không)

b. ĐKXĐ: ...

\(x^2+6x+10-2\sqrt{2x+5}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+4+\left(2x+5-2\sqrt{2x+5}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(\sqrt{2x+5}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2=0\\\sqrt{2x+5}-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=-2\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 10 2020 lúc 20:33

3.

Ta có: \(P=\frac{a\left(b^2+1\right)-ab^2}{b^2+1}+\frac{b\left(c^2+1\right)-bc^2}{c^2+1}+\frac{c\left(a^2+1\right)-ca^2}{c^2+1}\)

\(P=a+b+c-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\)

Do \(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\ge0\) với mọi a;b;c ko âm

\(\Rightarrow P\le a+b+c=3\)

\(P_{max}=3\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị

Xét hiệu:

\(\frac{ab^2}{b^2+1}-\frac{ab}{2}=ab\left(\frac{b}{b^2+1}-\frac{1}{2}\right)=-ab\left(\frac{b^2-2b+1}{2\left(b^2+1\right)}\right)=-\frac{ab\left(b-1\right)^2}{2\left(b^2+1\right)}\le0\) với mọi \(a;b\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab}{2}\Rightarrow a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\Leftrightarrow\frac{a}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}\) ; \(\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ac}{2}\)

Cộng vế với vế: \(P\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)

\(P_{min}=\frac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)

Lưu ý: do a;b;c ko âm nên bài này không được phép áp dụng Cô-si ngược dấu theo kiểu:

\(\frac{a}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)

Vì b có thể bằng 0 (tương tự với a và c) nên biểu thức \(a-\frac{ab^2}{2b}\) vô nghĩa về mặt toán học

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Kiều Ngọc Tú Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Sakura
Xem chi tiết
Niii
Xem chi tiết
Niii
Xem chi tiết
Lê Thị Thục Hiền
Xem chi tiết
Tứ Diệp Thảo
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nguyệt
Xem chi tiết