Question

câu 1 : a )Cho a,b là các số thực thỏa ab=1 . tìm gtnn A = \(\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)

b)Cho xy>0 và \(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)

Tính GTLN M=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

c) Cho a,b,c là các số dương . C/m T=\(\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\le\frac{3}{5}\)

Câu 2 Giải phương trình a ) \(x^2-x-4=2\sqrt{x-1}\left(1-x\right)\)

b) \(x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2\)

c) \(\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3\)

d) \(2-\sqrt{3-2x}=\left|2x-3\right|\)

câu 3 Tính a) A=\(\sqrt{1+1999^2+\frac{1999^2}{200^2}}+\frac{1999}{2000}\)

b) M=\(\frac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(49-20\sqrt{6}\right)\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

c) Tìm nghiệm nguyê dương của pt : xy+yz+zx=xyz+2

d) Tìm các số nguyên x để \(x^4-x^2+2x+2\)

là số chính phương

e) Tìm số nguyên dương n để A = \(n^{2006}+n^{2005}+1\)

là số nguyên tố

Answer 1

Câu 1:

a/ Biểu thức không tồn tại GTNN.

Bạn cứ thử với vài giá trị âm có trị tuyệt đối lớn, ví dụ \(a=-10^3\) và \(b=-\frac{1}{10^3}\) sẽ thấy

b/

\(x^3+3x^2+3x+1+y^3+3y^2+3y+1+x+y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+x+y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)\right]+x+y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1-\frac{y+1}{2}\right)^2+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\right]=0\)

\(\Rightarrow x+y=-2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-x+\left(-y\right)=2\)

\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\left(\frac{1}{-x}+\frac{1}{-y}\right)\le-\frac{4}{-x+\left(-y\right)}=-\frac{4}{2}=-2\)

\(\Rightarrow M_{max}=-2\) khi \(x=y=-1\)

Answer 2

1c/

\(T=\sum\frac{a}{2a+a+b+c}=\frac{1}{25}\sum\frac{a\left(2+3\right)^2}{2a+a+b+c}\le\frac{1}{25}\sum\left(\frac{4a}{2a}+\frac{9a}{a+b+c}\right)\)

\(\Rightarrow T\le\frac{1}{25}\left(6+\frac{9\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\right)=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Answer 3

Câu 2:

a/ ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+2\left(x-1\right)\sqrt{x-1}+x-1=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1+\sqrt{x-1}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow x-1+\sqrt{x-1}=2\) (do \(x-1\ge0\))

\(\Leftrightarrow x-1+\sqrt{x-1}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)\left(\sqrt{x-1}+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=1\Rightarrow x=2\)

b/ ĐKXĐ: ...

Đặt \(\sqrt{x+\frac{1}{4}}=a\ge0\Rightarrow x=a^2-\frac{1}{4}\)

\(a^2-\frac{1}{4}+\sqrt{a^2-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+a}=2\)

\(\Leftrightarrow a^2-\frac{1}{4}+\sqrt{a^2+a+\frac{1}{4}}=2\)

\(\Leftrightarrow a^2-\frac{1}{4}+\sqrt{\left(a+\frac{1}{2}\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow a^2+a+\frac{1}{4}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+\frac{1}{2}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow a+\frac{1}{2}=\sqrt{2}\Rightarrow a=\sqrt{2}-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+\frac{1}{4}}=\sqrt{2}-\frac{1}{2}\Rightarrow x=2-\sqrt{2}\)

Answer 4

Bài 2c:

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{x-2}=a\\\sqrt{x+1}=b\ge0\end{matrix}\right.\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\b^2-a^3=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=3-a\\b^2-a^3=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3-a\right)^2-a^3=3\)

\(\Leftrightarrow a^3-a^2+6a-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+6\right)=0\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{x-2}=1\Rightarrow x=3\)

d/ ĐKXĐ: \(x\le\frac{3}{2}\Rightarrow2x-3\le0\Rightarrow\left|2x-3\right|=3-2x\)

Đặt \(\sqrt{3-2x}=t\ge0\) ta được:

\(2-t=t^2\Rightarrow t^2-t-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\left(l\right)\\t=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{3-2x}=2\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Answer 5

Câu 3:

a/ Đề bài không đúng

b/ \(M=\frac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(49-20\sqrt{6}\right)\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2\left(49-20\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)^2}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^4}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^3}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(=\frac{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}=1\)

c/ Do vai trò của x;y;z là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le3xy\Rightarrow3xy\ge xyz+2>xyz\)

\(\Rightarrow z< 3\Rightarrow z=\left\{1;2\right\}\)

- Với \(z=1\Rightarrow xy+x+y=xy+2\Rightarrow x+y=2\Rightarrow x=y=1\)

- Với \(z=2\Rightarrow xy+2\left(x+y\right)=2xy+2\)

\(\Rightarrow xy-2x-2y+2=0\)

\(\Leftrightarrow xy-2x-2y+4=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của pt là \(\left(x;y;z\right)=\left(4;3;2\right);\left(1;1;1\right)\) và các hoán vị

Answer 6

Câu 3d:

\(A=x^4-x^2+2x+2=x^4+2x^3+x^2-2x^3-4x^2-2x+2x^2+4x+2\)

\(=x^2\left(x^2+2x+1\right)-2x\left(x^2+2x+1\right)+2\left(x^2+2x+1\right)\)

\(=\left(x+1\right)^2\left(x^2-2x+2\right)\)

Với \(x=-1\Rightarrow A=0\) thỏa mãn

Do \(x^2-2x+2>0\) \(\forall x\Rightarrow\) để A là SCP thì \(x^2-2x+2\) là số chính phương

\(\Leftrightarrow x^2-2x+2=k^2\) \(\left(k\in Z^+\right)\)

\(\Leftrightarrow k^2-\left(x-1\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(k+x-1\right)\left(k-x+1\right)=1\Rightarrow x=1\)

Answer 7

Câu 3e:

\(n=1\Rightarrow A=3\) thỏa mãn

Với \(n>1\):

\(A=n^{2006}+n^{2004}+n^{2004}-\left(n^{2004}-1\right)\)

\(=n^{2004}\left(n^2+n+1\right)-\left(\left(n^3\right)^{668}-1\right)\)

Ta có \(\left(n^3\right)^{668}-1⋮n^3-1\Rightarrow\left(n^3\right)^{668}-1⋮n^2+n+1\)

\(\Rightarrow A⋮n^2+n+1\Rightarrow A\) có nhiều hơn 2 ước tự nhiên \(\Rightarrow A\) không phải là SNT

Vậy với \(n=1\) thì A là SNT