ĐKXĐ : \(-1\le x\le3\)

- ADbu nhi : \(\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(\left(\sqrt{x+1}\right)^2+\left(\sqrt{3-x}\right)^2\right)\)

\(=2\left(x+1+3-x\right)=2.4=8\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\le\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

- Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{3-x}}\)

\(\Leftrightarrow x+1=3-x\)

\(\Leftrightarrow x=1\left(TM\right)\)

\(\Rightarrow Max_{f\left(x\right)}=2\sqrt{2}\) tại x = 1.

- Có : \(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{x+1+3-x}=\sqrt{4}=2\)

- Dấu " = " xảy ra <=> x = -1 ( TM )

\(\Rightarrow Min_{f\left(x\right)}=2\) tại x = - 1 .

\(\Leftrightarrow\sqrt{2t^2+mt-m-1}=t-1\) có 2 nghiệm thỏa mãn \(1\le t< 3\)

\(\Rightarrow2t^2+mt-m-1=t^2-2t+1\)

\(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2+\left(m+2\right)t-m-2=0\) có 2 nghiệm \(1< t_1< t_2< 3\) (hiển nhiên \(t=1\) ko là nghiệm)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+2\right)^2+4\left(m+2\right)>0\\f\left(1\right)=1>0\\f\left(3\right)=9+3\left(m+2\right)-m-2>0\\1< \dfrac{t_1+t_2}{2}=\dfrac{-m-2}{2}< 3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+2\right)\left(m+6\right)>0\\2m+13>0\\2< -m-2< 6\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>-2\\m< -6\end{matrix}\right.\\m>-\dfrac{13}{2}\\-8< m< -4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\dfrac{13}{2}< m< -6\)

f'(x)>0 với mọi x khác -8, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên [0;3].

Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [0;3] là (-m^2)/8. Ta có: (-m^2)/8=2.

Suy ra, không có giá trị nào của số thực m thỏa yêu cầu đề bài.

Dễ thấy: \(f\left(x\right)=\left(x+m-1\right)^2-m^2+5m-6\ge-m^2+5m-6\)

Giá trị nhỏ nhất của f(x) đạt lớn nhất tức \(-m^2+5m-6\) đạt lớn nhất

Mà \(g\left(m\right)=-m^2+5m-6=-\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)

g(m) đạt lớn nhất khi m=5/2

m cần tìm là 5/2

\(M=3\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}+4\right)^2+14\)

\(=3\left(x+2\sqrt{x}+1\right)-\left(x+8\sqrt{x}+16\right)+14\)

\(=3x+6\sqrt{x}+3-x-8\sqrt{x}-16+14\)

\(=2x-2\sqrt{x}+1\)

\(=2\left(x-4\sqrt{x}+4\right)+6\sqrt{x}-7\)

\(=2\left(\sqrt{x}-2\right)^2+6\sqrt{x}-7\ge2.0+6.\sqrt{4}-7=5\)

Dấu "=" \(x=4\)

Vậy GTNN của M là 4 <=> x = 4

\(\left\{{}\begin{matrix}xz=x+4\left(1\right)\\2y^2=7xz-3x-14\\x^2+y^2=35-z^2\left(3\right)\end{matrix}\right.\left(2\right)\)

Nhận thấy \(x=0\) không là nghiệm của (1) . 

\(\rightarrow z=\dfrac{x+4}{x}\)(4)

Thế (1) vào (2) . 

\(2y^2=7\left(x+4\right)-3x-14=4x+14\leftrightarrow y^2=2x+7\)(\(x\ge-\dfrac{7}{2}\)) (5)

Thế (4)(5) vào (3) 

\(x^2+2x+7=35-\left(\dfrac{x+4}{x}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^4+2x^3-27x^2+8x+16=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-1\right)\left(x^2+7x+4\right)=0\)\(\)

TH1 : \(x-4=0\Leftrightarrow x=4\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm\sqrt{15}\\z=2\end{matrix}\right.\)

TH2 : \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm3\\z=5\end{matrix}\right.\)

TH3 : \(x^2+7x+4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2}\left(TM\right)\\x=\dfrac{-7-\sqrt{33}}{2}\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\pm\sqrt[4]{33}\\z=-\dfrac{5+\sqrt{33}}{2}\end{matrix}\right.\)