Đoạn cuối của cô Nguyễn Linh Chi em có 1 cách biến đổi tương đương cũng khá ngắn gọn ạ

\(RHS\ge2\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)

Theo đánh giá của cô Nguyễn Linh Chi thì \(xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3\)

Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)

Thật vậy,BĐT tương đương với:

\(2\left(x+y+z\right)^2\ge x^2+y^2+z^2-x-y-z+18\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+x+y+z-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+4\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\) ( luôn đúng với \(x+y+z\ge3\) )

=> đpcm

Áp dụng: \(AB\le\frac{\left(A+B\right)^2}{4}\)với mọi A, B

Ta có:

\(x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\le\frac{\left(x+2+x^2-2x+4\right)^2}{4}\)

=> \(\sqrt{x^3+8}\le\frac{x^2-x+6}{2}\)

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}\)

Tương tự 

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\)

\(\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}\)

\(=2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)\)

\(\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}\)

\(=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)(1)

Ta có: \(x+y+z\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) với mọi x, y, z 

=> \(\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)\ge0\)

=> \(\left(x+y+z\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)

=> \(x+y+z\ge3\)với mọi x, y, z dương

Và \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)\)

Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\)

Đặt: x + y + z = t ( t\(\ge3\))

Xét hiệu: \(\frac{t^2}{t^2-3t+18}-\frac{1}{2}=\frac{t^2+3t-18}{t^2-3t+18}=\frac{\left(t-3\right)\left(t+6\right)}{\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{63}{4}}\ge0\)với mọi t \(\ge3\)

Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)(2)

Từ (1); (2) 

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge2.\frac{1}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x= y = z = 1

Lời giải:

Để cho đẹp, đổi \((xy,yz,xz)\mapsto (a,b,c)\) suy ra \(a+b+c=1\)

BĐT cần chứng minh tương đương với :

\(A=\frac{1}{a+b+c+a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{a+b+c+b+\frac{ac}{b}}+\frac{1}{a+b+c+c+\frac{ab}{c}}\leq \frac{9}{5}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{a}{2a^2+ab+bc+ac}+\frac{b}{2b^2+ab+bc+ac}+\frac{c}{2c^2+ab+bc+ac}\leq \frac{9}{5}\)

\(\Leftrightarrow A=\sum \frac{a(ab+bc+ca)}{2a^2+ab+bc+ac}\leq \frac{9(ab+bc+ac)}{5}\)

Để ý rằng \(A=\sum \left ( a-\frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac} \right )=1-\sum \frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac}\)

Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac}=\sum \frac{2a^4}{2a^3+a^2b+abc+a^2c}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^3+b^3+c^3)+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)+3abc}\)

Giờ đặt \(ab+bc+ac=q,abc=r\)

Phân tích:

\(2(a^3+b^3+c^3)+\sum ab(a+b)+3abc=2(a^3+b^3+c^3-3abc)+(a+b+c)(ab+bc+ac)+6abc\)

\(=2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+ab+bc+ac+6abc\)

\(=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)+6abc=2-5q+6r\)

Do đó \(A\leq 1-\frac{2(1-2q)^2}{2-5q+6r}\). Giờ chỉ cần chỉ ra \(1-\frac{2(1-2q)^2}{2-5q+6r}\leq \frac{9q}{5}\Leftrightarrow q(3-5q)+6r(9q-5)\geq 0\)

Theo AM-GM dễ thấy

\(q^2=(ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)=3r\)

Và \(1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow q\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow 9q-5<0\rightarrow 6r(9q-5)\geq 2q^2(9q-5)\) (đổi dấu)

\(\Rightarrow q(3-5q)+6r(9q-5)\geq q(3-5q)+2q^2(9q-5)=q(2q-1)(3q-1)\geq 0\)

BĐT trên hiển nhiên đúng vì \(q\leq \frac{1}{3}<\frac{1}{2}\Rightarrow (2q-1)(3q-1)\geq 0\)

Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

P/s: Làm BĐT bần cùng lắm mới xài pqr, không ngờ phải xài thật :)

Sao tag éo dc :|

Akai HarumaNguyễn Huy ThắngTrần Việt LinhHoàng Lê Bảo Ngọc

\(\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-zx}+\frac{z}{3-xy}\le\frac{x}{3-\frac{y^2+z^2}{2}}+\frac{y}{3-\frac{z^2+x^2}{2}}+\frac{z}{3-\frac{x^2+y^2}{2}}\)

\(=\frac{2x}{3+x^2}+\frac{2y}{3+y^2}+\frac{2z}{3+z^2}\le\frac{2x}{4\sqrt[4]{x^2}}+\frac{2y}{4\sqrt[4]{y^2}}+\frac{2z}{4\sqrt[4]{z^2}}\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{\sqrt{y}}{2}+\frac{\sqrt{z}}{2}\le\frac{x^2+3}{8}+\frac{y^2+3}{8}+\frac{z^2+3}{8}\)

\(=\frac{3}{8}+\frac{9}{8}=\frac{3}{2}\)

cách khác: cũng đến chỗ <= sigma 2x/3+x^2 

<= 2x/2(x+1) (do x^2+3=x^2+1+2>=2x+2) <= sigma x/x+1 = 3- sigma (1/x+1) 

sigma 1/x+1 >= 9/x+y+z+3 dễ rồi

\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)

helloo

Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)

Khi đó BĐT <=>

 \(\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+...\right)\)

<=> \(\frac{x+y+z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\right)^3\)

<=>\(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\right)^3\)

<=> \(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\right)^3\)(1)

Xét \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)

<=> \(9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)+3xyz\right)\)

<=> \(xy\left(y+x\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\ge6xyz\)

<=> \(x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2\ge0\)luôn đúng

Khi đó (1) <=> 

\(\left(x+y+z\right).\frac{2\sqrt{2}}{3}.\sqrt{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+....\right)^3\) 

<=> \(\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\)

Áp dụng buniacopxki cho vế phải ta có 

\(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(3-xy-yz-xz\right)}\)

                                                                                                       \(=\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\)

=> BĐT được CM

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

1/

\(P=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{2}{xy+yz+xz}+\frac{1}{xy+yx+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)\

\(\ge\frac{2}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}+\frac{\left(2\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=14\)

Ta thấy dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z=\frac{1}{3}\\\frac{1}{xy+yz+xz}=\frac{\sqrt{2}}{x^2+y^2+z^2}\end{cases}}\) 

Hai điều kiện không thể đồng thời xảy ra nên không tồn tại dấu bằng. Vậy P > 14

1) vì x,y,z là các số bất kì, ta có bđt luôn đúng: (x+y+z)² \(\ge\)3(xy+yz+zx)

vì x+y+z=1 nên suy ra \(\frac{1}{xy+yz+zx}\ge3\)

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

ta có \(\frac{1}{3\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{4}{\left(x+y+z\right)^3}=4\)

\(\Rightarrow\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)\(\ge2\cdot3+2\cdot4=14\)

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z=\frac{1}{3}\\2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\end{cases}}\)

hệ này vô nghiệm nên bât không trở thành đẳng thức

vậy bất đẳng thức được chứng minh

2) ta có \(\frac{x^3}{y^3+8}+\frac{y+2}{27}+\frac{y^2-2y+4}{27}\ge\frac{x}{3}\Rightarrow\frac{x^3}{y^3+8}\ge\frac{9x+y-y^2-6}{27}\)

tương tự ta có: \(\frac{y^3}{z^3+8}\ge\frac{9y+z-z^2-6}{27},\frac{z^3}{x^3+8}\ge\frac{9z+x-x^2-6}{27}\)nên

\(VT\ge\frac{10\left(x+y+z\right)-\left(x^2+y^2+z^2\right)-18}{27}=\frac{12-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{27}\)mà ta lại có 

\(\frac{12-\left(x^2+y^2+z^2\right)27}{27}=\frac{3+\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{27}=\frac{1}{9}+\frac{2}{27}\left(xy+yz+zx\right)\)

từ đó ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1

Sửa đề VP là \(\frac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}\).

Tham khảo:[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020 - Trang 2 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

1) \(21x^2+21y^2+z^2\)

\(=18\left(x^2+y^2\right)+z^2+3\left(x^2+y^2\right)\)

\(\ge9\left(x+y\right)^2+z^2+3.2xy\)

\(\ge2.3\left(x+y\right).z+6xy\)

\(=6\left(xy+yz+zx\right)=6.13=78\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y ; 3(x+y) = z; xy + yz + zx= 13 <=> x = y = 1; z= 6

2) \(x+y+z=3xyz\)

<=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3\)

Đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)=> ab + bc + ca = 3

Ta cần chứng minh: \(3a^2+b^2+3c^2\ge6\)

Ta có: \(3a^2+b^2+3c^2=\left(a^2+c^2\right)+2\left(a^2+c^2\right)+b^2\)

\(\ge2ac+\left(a+c\right)^2+b^2\ge2ac+2\left(a+c\right).b=2\left(ac+ab+bc\right)=6\)

Vậy: \(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{3}{z^2}\ge6\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = c = \(\sqrt{\frac{3}{5}}\); \(b=2\sqrt{\frac{3}{5}}\)

khi đó: \(x=z=\sqrt{\frac{5}{3}};y=\sqrt{\frac{5}{3}}\)