Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\). Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{\sqrt{x+2y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y+2z}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+2x}}\le\sqrt{3}\).

Cho \(a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\), \(b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\). Tính \(S=\frac{1}{a^7}+\frac{1}{b^7}\).

Cho tam giác ABC, P là điểm bất kì trên BC. I, I₁, I₂ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, APB, APC. Hạ ID vuông góc BC. Chứng minh rằng I₁, I₂, P, D cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có B, C cố định, A chuyển động trên (O). M là trung điểm AB. Kẻ \(MK\perp AC\left(K\in AC\right)\). Chứng minh rằng K chuyển động trên một đường tròn cố định.

Cho tam giác nhọn ABC. P là một điểm chuyển động trên BC. Các điểm EF lần lượt nằm trên AC, AB sao cho PE vuông góc AB, PF vuông góc AC. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF chuyển động trên một đường thẳng cố định.

Giải phương trình :

\(11\sqrt{5-x}+8\sqrt{2x-1}=24+3\sqrt{\left(5-x\right)\left(2x-1\right)}\)