chứng minh rằng: \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...+\frac{1}{4^n}=\left(1-\frac{1}{4^n}\right)\times\frac{1}{3}\)
GIẢI GIÚP MÌNH DƯỚI DẠNG QUY NẠP TOÁN HỌC NHÉ!!!!
Những câu hỏi liên quan
Tìm biểu thức ngăn hơn cho biểu thức sau:
\(P_{_{ }n}=\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2n-1\right)^2}\right)\)
Biết rằng nó đúng với n>=1 và chúng chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Ta sẽ chứng minh với \(n\ge1\)thì \(P_n=\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2n-1\right)^2}\right)=\frac{-2n-1}{2n-1}\)
Với \(n=1\)mệnh đề đúng vì \(1-4=-3=\frac{-2.1-1}{2.1-1}\)
Giả sử mệnh đề đúng với \(n=k\)tức là \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k-1\right)^2}\right)=\frac{-2k-1}{2k-1}\)
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với \(n=k+1\)tức là chứng minh \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k+1\right)^2}\right)=\frac{-\left(2k+3\right)}{2k+1}\)
Thật vậy \(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2k-1\right)^2}\right)\left(1-\frac{4}{\left(2k+1\right)^2}\right)=\frac{-2k-1}{2k-1}.\frac{\left(2k-1\right)\left(2k+3\right)}{\left(2k+1\right)^2}\)
\(=\frac{-\left(2k+1\right)}{2k-1}.\frac{\left(2k-1\right)\left(2k+3\right)}{\left(2k+1\right)^2}=\frac{-\left(2k+3\right)}{2k+1}.\)
Theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề đúng với mọi \(n\ge1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Tìm biểu thức ngặn gọn hơn cho tích sau đây:
\(P_n=\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)......\left(1-\frac{4}{\left(2n-1\right)^2}\right)\)
Biết rằng nó đúng với n>=1 và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp ,mk nhớ có trog quyển này
Đúng 0
Bình luận (0)
Tìm biểu thức ngắn gọn hơn cho tích sau đây:
Pn=\(\left(1-\frac{4}{1}\right)\left(1-\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{4}{25}\right)...\left(1-\frac{4}{\left(2n-1\right)^2}\right)\)
Biết rằng nó đúng với mọi n>=1 và CM bằng phương pháp quy nạp toán học
Chứng minh rằng:
a) \(\frac{1}{2}-\) \(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}< \frac{1}{3}\)
b) \(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}< \frac{3}{16}\)
Giải nhanh bài này giúp mình nhé ngày mai mình thi học sinh giỏi rồi!
Cho \(n\)là số nguyên dương lớn hơn 2 , chứng minh rằng :
H\(=\frac{1}{a^2}+\frac{2}{a^3}+\frac{3}{a^4}+...+\frac{n}{a^{n+1}}< \frac{1}{\left(a-1\right)^2}\)
Các bạn giải giúp mình nhanh nhé !
nhân h với a ta được
ah=1/a+2/a^2+.......+n/a^n
ah-h=(1/a+2/a^2+.......+n/a^n)-(1/a^2+2/a^3+.....+n/a^n+1)
=1/a+(2/a^2-1/a^2)+.......+(n/a^n-n-1/a^n)+1/a+n/a^n+1
=(1/a+1/a^2+1/a^3+...+1/a^n)+n/a^n+1
mình mới nghĩ được đến đấy thôi
có phải câu này có trong đề thi giữa học kì 2 môn toán 6 năm 2017 không
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
\(M=\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+....+\frac{1}{\left(2\times n\right)\times\left(2\times n\right)}\). Chứng minh M < 1/4
15 tháng 3 2019 lúc 22:06
Bài 1: Chứng minh rằng: \(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}< \frac{3}{16}\)
Bài 2: Cho \(n\in N;n>1\). Chứng minh rằng: \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)^2}+\frac{1}{n^2}\notin N\)
Nguyen svtkvtm Khôi Bùi Nguyễn Việt Lâm Lê Anh Duy Nguyễn Thành Trương DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG An Võ (leo) Ribi Nkok Ngok Bonking ...
Đúng 0
Bình luận (0)
Tính giá trị biểu thức:
\(A=\frac{\frac{16}{10}:\left(1\frac{3}{5}\times \frac{5}{4}\right)}{\frac{64}{100}-\frac{1}{25}}+\frac{\left(\frac{108}{100}-\frac{2}{25}\right):\frac{4}{7}}{\left(5\frac{5}{9}-2\frac{1}{4}\right)\times 2\frac{2}{17}}+\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}:\frac{2}{5}\)
trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
17 tháng 7 2023 lúc 12:51
Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a) \( - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + ...\)
b) \(\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + ... + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + ...\)
a) \( - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + ...\)
Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = - \frac{1}{2}\) và công bội \(q = - \frac{1}{2}\) nên: \( - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + ... = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)}} = - \frac{1}{3}\)
b) \(\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + ... + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + ...\)
Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{4}\) và công bội \(q = \frac{1}{4}\) nên: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + ... + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + ... = \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}\)
Đúng 1
Bình luận (0)