Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bk.dk}{bd}=k^2\\\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=\dfrac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\end{matrix}\right.\\ \RightarrowĐpcm\)

Đặt a/b=c/d=k

=>a=bk; c=dk

1: \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=k^2\)

\(\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bk\cdot dk}{bd}=k^2\)

Do đó; \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{ac}{bd}\)

2: \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=k^2\)

\(\dfrac{a^2-c^2}{b^2-d^2}=\dfrac{b^2k^2-d^2k^2}{b^2-d^2}=k^2\)

Do đó: \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{a^2-c^2}{b^2-d^2}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\left(1\right)\)

Thay (1) vào từng vế của đề bài:

\(VT=\dfrac{a^2+ac}{c^2-ac}=\dfrac{bk\left(bk+dk\right)}{dk\left(dk-bk\right)}=\dfrac{b\left(b+d\right)}{d\left(d-b\right)}\)

Vế phải đặt thừa số chung sẽ ra VT => đpcm.

Đặt :

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

\(\Leftrightarrow a=bk;c=dk\)

\(VT=\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bkdk}{bd}=\dfrac{bdk^2}{bd}=k^2\left(1\right)\)

\(VP=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2.k^2+d^2.k^2}{b^2+d^2}=\dfrac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrowđpcm\)

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\) =>\(a=bk,c=dk\)

=> \(\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bk.dk}{bd}=k.k=k^2\left(1\right)\)

\(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}\)

=\(\dfrac{k^2.\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(2\right)\)

Từ (1)và(2)=>\(\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

Chúc Bạn Học Tốt

Đặt \(\dfrac{a}{b}\) = \(\dfrac{c}{d}\) = k \(\Rightarrow\) a = bk; c = dk

\(\Rightarrow\) + \(\dfrac{ac}{bd}\) = \(\dfrac{bk.dk}{bd}\) = k . k = k² (1)

+ \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\) = \(\dfrac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}\)= \(\dfrac{b^2.k^2+d^2.k^2}{b^2+d^2}\) = \(\dfrac{k^2.\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}\) = k² (2)

Từ (1) và (2) => \(\dfrac{ac}{bd}\) = \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{a^2-c^2}{b^2-d^2}=k^2\)

\(\dfrac{ac}{bd}=k^2\)

Do đó: \(\dfrac{a^2-c^2}{b^2-d^2}=\dfrac{ac}{bd}\)

Đặt:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=t\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bt\\c=dt\end{matrix}\right.\)

a) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{b^2t}{d^2t}=\dfrac{b^2}{d^2}\\\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{b^2t^2+b^2}{d^2t^2+d^2}=\dfrac{b^2\left(t^2+1\right)}{d^2\left(t^2+1\right)}=\dfrac{b^2}{d^2}\end{matrix}\right.\Rightarrowđpcm\)

b)\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{t^2bd}{bd}=t^2\\\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2t^2+d^2t^2}{b^2+d^2}=\dfrac{t^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}\end{matrix}\right.\Rightarrowđpcm\)

Tham khảo:Chứng minh a/b=c/d hoặc a/b=d/c biết (a^2+b^2)/(c^2+d^2)=ab/cd - An Nhiên

\(\text{Cho }\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\text{ và }b,d\notin0\text{.CMR:}\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

\(\text{Ta có:}\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

\(\text{Lại có:}\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{bk.dk}{bd}=\dfrac{\left(bd\right).k^2}{bd}=k^2\)

\(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\dfrac{b^2.k^2+d^2.k^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(b^2+d^2\right).k^2}{b^2+d^2}=k^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{ac}{bd}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

Bài 2:

a: Gọi I là trung điểm của MC

Ta có: \(MI=IC=\dfrac{MC}{2}\)

\(AM=\dfrac{MC}{2}\)

Do đó: AM=MI=IC

=>AM=MI

=>M là trung điểm của AI

Xét ΔBMC có

D,I lần lượt là trung điểm của CB,CM

=>DI là đường trung bình của ΔBMC

=>DI//BM và \(DI=\dfrac{BM}{2}\)

DI//BM

O\(\in\)BM

Do đó: DI//OM

Xét ΔADI có

M là trung điểm của AI

MO//DI

Do đó: O là trung điểm của AD

b: Xét ΔADI có O,M lần lượt là trung điểm của AD,AI

=>OM là đường trung bình của ΔADI

=>\(OM=\dfrac{1}{2}DI=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot BM=\dfrac{1}{4}BM\)

Bài 1:

a: \(\dfrac{AB'}{AB}=\dfrac{AC'}{AC}\)

=>\(\dfrac{AB}{AB'}=\dfrac{AC}{AC'}\)

=>\(\dfrac{AB-AB'}{AB'}=\dfrac{AC-AC'}{AC'}\)

=>\(\dfrac{BB'}{AB'}=\dfrac{CC'}{AC'}\)

=>\(\dfrac{AB'}{BB'}=\dfrac{AC'}{CC'}\)

b: Ta có: \(\dfrac{AB'}{BB'}=\dfrac{AC'}{CC'}\)

=>\(\dfrac{AB'+BB'}{BB'}=\dfrac{AC'+CC'}{CC'}\)

=>\(\dfrac{AB}{BB'}=\dfrac{AC}{CC'}\)

=>\(\dfrac{BB'}{AB}=\dfrac{CC'}{AC}\)