Theo hệ trục toạ độ ( bạn tự vẽ nha ), để ABCD là hình vuông => \(A\left(-2;-2\right)\)

Ta có : độ dài AB=\(\sqrt{\left(-2+2\right)^2+\left(-2-3\right)^2}=\sqrt{25}=5\)

=> Diện tích của hình v ABCD=\(5^2=25\)( đơn vị )

Thanks

Do M thuộc Ox, gọi tọa độ M có dạng \(M\left(m;0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(1-m;-4\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(4-m;5\right)\\\overrightarrow{MC}=\left(-m;-9\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left(9-3m;6\right)\\\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(4-2m;-4\right)\end{matrix}\right.\)

\(Q=2\sqrt{\left(9-3m\right)^2+6^2}+3\sqrt{\left(4-2m\right)^2+\left(-4\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(6m-18\right)^2+12^2}+\sqrt{\left(12-6m\right)^2+12^2}\)

\(=\sqrt{\left(18-6m\right)^2+12^2}+\sqrt{\left(6m-12\right)^2+12^2}\)

\(Q\ge\sqrt{\left(18-6m+6m-12\right)^2+\left(12+12\right)^2}=6\sqrt{17}\)

\(\Rightarrow a-b=-11\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right);\overrightarrow{AE}=\left(a+1;b+2\right)\) mà E di động trên đường thẳng AB nên A,B,E thẳng hàng tương đương với \(\dfrac{a+1}{4}=\dfrac{b+2}{4}\) <=> \(a=b+1\).Vậy E(b+1;b)

Đặt \(\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{EA}+3\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EC}\) => \(\overrightarrow{u}=\left(-1-4b;3-4b\right)\)

có : \(\left|2\overrightarrow{EA}+3\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EC}\right|=\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\left(-1-4b\right)^2+\left(3-4b^2\right)}\)

Đặt : 1-4b = t => \(\left\{{}\begin{matrix}-1-4b=t-2\\3-4b=t+2\end{matrix}\right.\) khi đó \(\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\left(t-2\right)^2+\left(t+2\right)^2}=\sqrt{2t^2+8}\ge2\sqrt{2}\)

\(\left|2\overrightarrow{EA}+3\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EC}\right|\)đạt GTNN khi và chỉ khi t =0 <=> b=1/4 => a=5/4

vậy \(a^2-b^2=\dfrac{3}{2}\)

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}G \in \left( {EFG} \right)\\G \in BD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow G \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in EF \subset \left( {EFG} \right)\\I \in BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng \(GI\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}F \in \left( {EFG} \right)\\F \in AC \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\\\left. \begin{array}{l}H \in EG \subset \left( {EFG} \right)\\H \in A{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là đường thẳng \(HF\).

b) Gọi \(J\) là giao điểm của \(CD\) và \(IG\).

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}J \in IG \subset \left( {EFG} \right)\\J \in C{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow J \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\)

Mà \(F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right),H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\) (theo chứng minh phần a).

Do đó ba điểm \(H,F,J\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(CD,IG,HF\) cùng đi điểm \(J\).

Gọi D là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC

Theo tính chất trọng tâm: \(AG=\dfrac{2}{3}AD\)

\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CM}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MG}\right|=\left|-2\overrightarrow{AD}\right|\)

\(\Leftrightarrow MG=\dfrac{2}{3}AD=AG\)

\(\Rightarrow\) Tập hợp M là mặt cầu tâm G bán kính AG với G là trọng tâm tam giác ABC

a) \(\overrightarrow{AB}\left(2;-2\right)\); \(\overrightarrow{CA}=\left(4;-4\right)\).
Vì \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{-2}{-4}\) nên \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CA}\) cùng phương . Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
\(\overrightarrow{AB}\left(2;1\right)\); \(\overrightarrow{AC}\left(m+3;2m\right)\).
3 điểm A, B, C thẳng hàng nên hai véc tơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) cùng phương.
Suy ra: \(\dfrac{m+3}{2}=\dfrac{2m}{1}\Leftrightarrow m+3=4m\)\(\Leftrightarrow m=1\).