Bài 4. ÔN TẬP CHƯƠNG III

Giao điểm của \(\left(C\right)\) và \(\left(d\right)\) có tọa độ là nghiệm hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-25=0\\x+y-3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2-2xy-25=0\\x+y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=-8\\x+y=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\\y=\dfrac{3-\sqrt{41}}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3-\sqrt{41}}{2}\\y=\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(\dfrac{3+\sqrt{41}}{2};\dfrac{3-\sqrt{41}}{2}\right)\\\left(\dfrac{3-\sqrt{41}}{2};\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Kết luận: Tọa độ giao điểm: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{3+\sqrt{41}}{2};\dfrac{3-\sqrt{41}}{2}\right)\\\left(\dfrac{3-\sqrt{41}}{2};\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{\pi}{2}< a< \pi\Rightarrow cosa< 0\)

\(\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^2a}=-\sqrt{1-\dfrac{9}{16}}=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)

\(tana=\dfrac{sina}{cosa}=-\dfrac{3\sqrt{7}}{7}\) ; \(cota=\dfrac{1}{tana}=-\dfrac{\sqrt{7}}{3}\)

Bây giờ bạn chỉ cần thay số và bấm máy tính

a) Sửa đề: C/m FD//BC

Xét ΔABC có 

BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{BC}\)(Tính chất tia phân giác của tam giác)(1)

Xét ΔABC có 

CF là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)

nên \(\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{AC}{BC}\)(Tính chất tia phân giác của tam giác)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên \(\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{AB}{BC}\)(2)

Từ (1) và (2)suy ra \(\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{AD}{DC}\)

Xét ΔABC có 

F\(\in\)AB(gt)

D\(\in\)AC(gt)

\(\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{AD}{DC}\)(cmt)

Do đó: FD//BC(Định lí Ta lét đảo)

Đặt \(BC=x\Rightarrow p=\dfrac{x+13}{2}\)

Áp dụng định lý hàm cos:

\(x^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cos60^0=AB^2+AC^2-AB.AC\)\(\Rightarrow x^2=\left(AB+AC\right)^2-3AB.AC=169-3AB.AC\)

\(\Rightarrow AB.AC=\dfrac{169-x^2}{3}\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.sinA=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{169-x^2}{3}\right).\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(S=pr\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{169-x^2}{3}\right).\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\left(\dfrac{x+13}{2}\right).\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow169-x^2=6\left(x+13\right)\Rightarrow x^2+6x-91=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\\x=-13\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Ơ, nãy làm rồi mà.

Tham khảo:

Câu 28. Cho tam giác ABC có A(-2;3) và hai đường trung tuyến : 2x – y +1 = 0; x + y – 4 = 0. Hãy viết phương trình cạnh... - Hoc24

1.

Do A không thuộc hai đường trung tuyến đã cho nên giả sử đường trung tuyến xuất phát từ B, C lần lượt là \(2x-y+1=0;x+y-4=0\)

Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+1=0\\x+y-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\Rightarrow G=\left(1;3\right)\)

Gọi M là trung điểm BC, ta có \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+3=\dfrac{2}{3}\left(x_M+2\right)\\3-3=\dfrac{2}{3}\left(y_M-3\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=4\\y_M=3\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(4;3\right)\)

Gọi \(N=\left(m;2m+1\right)\) là trung điểm AC \(\Rightarrow C=\left(2m+2;4m-1\right)\)

Mà C lại thuộc CG nên \(2m+2+4m-1-4=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow C=\left(3;1\right)\)

Phương trình đường thẳng BC:

\(\dfrac{x-4}{3-4}=\dfrac{y-3}{1-3}\Leftrightarrow2x-y-5=0\)

2.

1.

Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-5y+1=0\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow G=\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)

Gọi I là trung điểm BC, ta có \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{3}-1=\dfrac{2}{3}\left(x_I-1\right)\\\dfrac{1}{3}-2=\dfrac{2}{3}\left(y_I-2\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{1}{2}\\y_I=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)

Gọi \(M=\left(5m-1;m\right)\) \(\Rightarrow C=\left(10m-3;2m-2\right)\)

Mà C lại thuộc CN nên \(10m-3+2m-2-1=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow C=\left(2;-1\right)\)

Phương trình đường thẳng BC:

\(\dfrac{x-2}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{y+1}{-1+\dfrac{1}{2}}\Leftrightarrow x+3y+1=0\)

Trước hết ta thấy \(\left(m-3\right)^2+\left(m-1\right)^2>0;\left(m-2\right)^2+\left(m+1\right)^2>0\forall m\)

Ta có: \(cos\left(d;\Delta\right)=cos90^o\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|\left(m-3\right)\left(m-1\right)-\left(m-1\right)\left(m+1\right)\right|}{\sqrt{\left(m-3\right)^2+\left(m-1\right)^2}.\sqrt{\left(m-2\right)^2+\left(m+1\right)^2}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|4-4m\right|}{\sqrt{\left(m-3\right)^2+\left(m-1\right)^2}.\sqrt{\left(m-2\right)^2+\left(m+1\right)^2}}=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)

Lời giải:

Vì $A\not\in (d_1); (d_2)$ nên 2 đường trung tuyến này xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C.

Gọi đây lần lượt là đường trung tuyến $BM,CN$

Gọi tọa độ $B(b, 2b-1), M(m, 2m-1), C(1,c), N(1,n)$

$M$ là trung điểm $AC$ nên: $m=\frac{3+1}{2}$ và $2m-1=\frac{1+c}{2}$

$\Rightarrow m=2; c=5$

Vậy tọa độ điểm C là $(1,5)$

$N$ là trung điểm $AB$ nên: $1=\frac{3+b}{2}$ 

$\Rightarrow b=-1$. Tọa độ $B(-1, -3)$

Câu 1 đề thiếu, điểm C thỏa mãn điều gì nữa? (ví dụ G là trọng tâm tam giác?)

Câu 2:

Do B, C đều thuộc d nên tọa độ có dạng: \(B\left(2b-3;b\right);C\left(2c-3;c\right)\) với \(b\ne c\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(2c-2;c-2\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(2c-2b;c-b\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=0\\AC=3BC\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2c-2\right)\left(2c-2b\right)+\left(c-2\right)\left(c-b\right)=0\\\left(2c-2\right)^2+\left(c-2\right)^2=9\left(2c-2b\right)^2+9\left(c-b\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4c-4+c-2=0\\\left(2c-2\right)^2+\left(c-2\right)^2=45\left(c-b\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow...\)