Bài 4. ÔN TẬP CHƯƠNG III

\(\frac{1}{cos^2x}-tan^2x=\frac{1}{cos^2x}-\frac{sin^2x}{cos^2x}=\frac{1-sin^2x}{cos^2x}=\frac{cos^2x}{cos^2x}=1\)

Bạn ghi đề ko đúng

Câu sau bạn cũng ghi đề ko đúng luôn, đề đúng phải là:

\(\frac{1-cosx}{sinx}\left(\frac{\left(1+cosx\right)^2}{sin^2x}-1\right)=2cotx\)

\(\frac{1-cosx}{sinx}\left(\frac{1+2cosx+cos^2x-sin^2x}{sin^2x}\right)=\frac{1-cosx}{sinx}\left(\frac{2cosx+2cos^2x}{sin^2x}\right)\)

\(=\frac{1-cosx}{sinx}\left[\frac{2cosx\left(cosx+1\right)}{sin^2x}\right]=\frac{\left(1-cos^2x\right).2cosx}{sinx.sin^2x}=\frac{sin^2x.2cosx}{sinx.sin^2x}=2cotx\)

\(\frac{tan^2x-sin^2x}{cot^2x-cos^2x}=\frac{sin^2x\left(\frac{1}{cos^2x}-1\right)}{cos^2x\left(\frac{1}{sin^2x}-1\right)}=\frac{sin^2x\left(\frac{1-cos^2x}{cos^2x}\right)}{cos^2x\left(\frac{1-sin^2x}{sin^2x}\right)}=\frac{sin^6x}{cos^6x}=tan^6x\)

C và D đều sai

Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=1-t\end{matrix}\right.\)

M thuộc d nên tọa độ có dạng \(M\left(t;1-t\right)\)

Khoảng cách từ M đến \(\Delta\): \(\dfrac{\left|4t+3\left(1-t\right)+1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2\)

\(\Leftrightarrow\left|t+4\right|=10\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=6\\t=-14\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(6;-5\right)\\M\left(-14;15\right)\end{matrix}\right.\)

\(tan^2x+cot^2x=2=2.tanx.cotx\)

\(\Leftrightarrow tan^2x+cot^2x-2tanx.cotx=0\)

\(\Leftrightarrow\left(tanx-cotx\right)^2=0\Leftrightarrow tanx=cotx=\dfrac{1}{tanx}\)

\(\Leftrightarrow tanx=\pm1\)

\(P=\dfrac{1}{cosx}-\dfrac{cosx}{1+sinx}=\dfrac{1+sinx-cos^2x}{cosx\left(1+sinx\right)}=\dfrac{sin^2x+sinx}{cosx\left(1+sinx\right)}\)

\(=\dfrac{sinx\left(1+sinx\right)}{cosx\left(1+sinx\right)}=tanx=\pm1\)

Giả sử hình thoi là ABCD với \(A\left(0;1\right)\)

Do tọa độ A thỏa \(x+7y-7=0\) nên đó là cạnh chứa A, ko mất tính tổng quát, giả sử đó là cạnh AB

Tọa độ A ko thỏa pt đường chéo nên đó là đường chéo BD

\(\Rightarrow\) Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+7y-7=0\\x+2y-7=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(7;0\right)\)

Phương trình AC qua A vuông góc BD: \(2\left(x-0\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y+1=0\)

Tọa độ tâm I là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-7=0\\2x-y+1=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow I\left(1;3\right)\)

I là trung điểm AC \(\Rightarrow C\left(2;5\right)\)

I là trung điểm BD \(\Rightarrow D\left(-5;-3\right)\)

Biết tọa độ các đỉnh, bạn tự viết pt các cạnh nhé

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}4x-y+3=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\dfrac{5}{7};\dfrac{1}{7}\right)\)

Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}4x-y+3=0\\x+y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-\dfrac{6}{5};-\dfrac{9}{5}\right)\)

Phương trình đường thẳng qua C và vuông góc phân giác góc B:

\(2\left(x+\dfrac{6}{5}\right)+1\left(y+\dfrac{9}{5}\right)=0\Leftrightarrow2x+y+\dfrac{21}{5}=0\)

Gọi E là hình chiếu của C lên phân giác góc B \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y+\dfrac{21}{5}=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E\left(-\dfrac{47}{25};-\dfrac{11}{25}\right)\)

Gọi F là điểm đối xứng E qua phân giác góc B \(\Rightarrow\) F thuộc AB đồng thời E là trung điểm CF \(\Rightarrow F\left(-\dfrac{64}{25};\dfrac{23}{25}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BF}\Rightarrow\) pt BF (chính là phương trình AB)

Làm tương tự với AC

Giả sử phương trình AC là 2x-5y+6=0 và pt BC là 4x+7y-21=0

Phương trình đường cao AH qua H và vuông góc BC:

\(7\left(x-0\right)-4\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow7x-4y=0\)

Pt đường cao BH qua H vuông AB: \(2x+5y=0\)

Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-5y+6=0\\7x-4y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow A\left(-4;-7\right)\)

Tọa độ B là nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}4x+7y-21=0\\2x+5y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(\dfrac{35}{2};-7\right)\)

Phương trình AB: \(y+7=0\)