CM các bất đẳng thức sau:
a) \(x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)\)
b) \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
Cho A = \(\dfrac{\left(x-y\right)^2+xy}{\left(x+y\right)^2-xy}.\left[1:\dfrac{x^5+y^5+x^3y^2+x^2y^3}{\left(x^3-y^3\right)\left(x^3+y^3+x^2y+xy^2\right)}\right]\)
B = x - y
Chứng minh đẳng thức A = B
Tính giá trị của A, B tại x = 0; y = 0 và giải thích vì sao A ≠ B
\(ĐK:x\ne y;x\ne-y;x^2+xy+y^2\ne0;x^2-xy+y^2\ne0\)
\(A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\left[1:\dfrac{\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]\\ A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\\ A=x-y=B\)
\(x=0;y=0\Leftrightarrow B=0\)
Giá trị của A không xác định vì \(x=y\) trái với ĐK:\(x\ne y\)
Vậy \(A\ne B\)
Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y, z > 0
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
c) \(x^4+y^4\ge\dfrac{\left(x+y\right)^4}{8}\)
e) \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
f) \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)
a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Giải thích hộ mk chỗ (*)này:
\(x^6-y^6=\left(x^2\right)^3-\left(y^2\right)^3\)
\(=\left(x^2-y^2\right)[\left(x^2\right)^2+xy+\left(y^2\right)^2]\)(Đây là hằng đẳng thức số 7)
=\(\left(x^2-y^2\right)\left(x^4+xy+y^4\right)\)
\(=\left(x+y\right)\left(x-y\right)\left(x^4+y^4+xy\right)\)(Bước này khai triển hằng đẳng thức số 3 trong(x^2-y^2)
\(=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2+x^2y^2\)(*)(Chỗ này giải thích hộ mk với)
\(=\left(x^2+y^2\right)^2-\left(xy\right)^2=\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\)(Đây là hằng đẳng thức số 3)
Vậy giúp mk nha, cảm ơn trước!
Chỗ dấu bằng thứ hai sai nên bạn làm cũng chưa đúng
x^6 -y^6 = (x^2-y^2)(x^4 +x^2 .y^2 + y^4)
Bạn hiểu ra chỗ sai của mình chưa.Chúc bạn học tốt.
Rút gọn các phân thức sau:
a) \(\dfrac{6x^2y^2}{8xy^{ }5}\)
b) \(\dfrac{10xy^2\left(x+y\right)}{15xy\left(x+y\right)^3}\)
c) \(\dfrac{2x^2+2x
}{x+1}\)
d) \(\dfrac{x^2-xy-x+y}{x^2+xy-x-y}\)
e) \(\dfrac{36\left(x-2\right)^3}{32-16x}\)
a) \(\dfrac{6x^2y^2}{8xy^5}=\dfrac{3x}{4y^3}\)
b) \(=\dfrac{2y}{3\left(x+y\right)^2}=\dfrac{2y}{3x^2+6xy+3y^2}\)
c) \(=\dfrac{2x\left(x+1\right)}{x+1}=2x\)
d) \(=\dfrac{x\left(x-y\right)-\left(x-y\right)}{x\left(x+y\right)-\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x-1\right)}{\left(x+y\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{x-y}{x+y}\)
e) \(=\dfrac{36\left(x-2\right)^3}{-16\left(x-2\right)}=-9\left(x-2\right)^2=-9x^2+36x-36\)
Chứng minh đẳng thức:
\(\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)^2=xy\left(x-y\right)^2\)
Có \(VT=x^4+x^3y+xy^3+y^4-x^4-2x^2y^2-y^4\)
\(=x^3y+xy^3-2x^2y^2\)
\(=xy\left(x^2+y^2-2xy\right)\)
\(=xy\left(x-y\right)^2=VP\)
chứng minh đẳng thức:
\(\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=-2y^3\)
\(\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(=\left(x^3+x^2y+xy^2-yx^2-xy^2-y^3\right)\)\(-\left(x^3-x^2y+xy^2+yx^2-xy^2+y^3\right)\)
\(=x^3+x^2y+xy^2-yx^2-xy^2-y^3-x^3+x^2y-xy^2-yx^2+xy^2-y^3\)
\(=-2y^3\)
\(\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=-2y^3\)
\(x-y.x^2+xy+y^2-x-y.x^2-xy+y^2=-2y^3\)
\(\left(x+x-x-x\right)-\left(y.y-y\right).\left(x^2.x^2\right)+\left(y^2+y^2\right)=-2y^3\)
\(0-\left(2y-y\right).x^4+2y^2=-2y^3\)
\(0-y.x^4+2y^2=-2y^3\)
\(-y.y^2.x^4+2=-2y^3\)
\(-y^3.x^4+2=-2y^3\)
hình như mk lm sai mk sẽ lm lại cách # thử
\(\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^3-y^3-\left(x^3+y^3\right)=-2y^3\)
(Áp dụng hằng đẳng thức)
Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: \(x^4+y^4+\left(x+y\right)^4=2.\left(x^2+xy+y^2\right)^2\)
Lời giải:
Ta có:
$x^4+y^4+(x+y)^4=(x^4+y^4+2x^2y^2)-2x^2y^2+[(x+y)^2]^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+2xy+y^2)^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+y^2)^2+(2xy)^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2(x^2+y^2)^2+2x^2y^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2[(x^2+y^2)^2+2xy(x^2+y^2)+(xy)^2]$
$=2(x^2+y^2+xy)^2$
Ta có đpcm.
Rút gọn các biểu thức sau:
a/ \(\left(x-2y^{ }\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)\)
b/ \(\left(x-2\right)^2+\left(x+3\right)^2-2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
a: \(\left(x-2y\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)\)
\(=x^2-4xy+4y^2+x^2-\dfrac{1}{4}y^2\)
\(=2x^2-4xy+\dfrac{15}{4}y^2\)
b: \(\left(x-2\right)^2+\left(x+3\right)^2-2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
\(=x^2-4x+4+x^2+6x+9-2\left(x^2-1\right)\)
\(=2x^2+2x+13-2x^2+2\)
=2x+15
a) \(=x^2-4xy+4y^2+x^2-\dfrac{1}{4}y^2=2x^2-4xy+\dfrac{15}{4}y^2\)
b) \(=x^2-4x+4+x^2+6x+9-2x^2+2\)
\(=2x+15\)
a; \(\left(x-2y\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)\left(x+\dfrac{1}{2}y\right)\)
= \(x^2-4xy+4y^2+x^2-\dfrac{1}{4}y^2\)
= \(2x^2-4xy+\dfrac{15}{4}y^2\)
b; \(\left(x-2\right)^2+\left(x+3\right)^2-2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
= \(x^2-4x+4+x^2+6x+9-2x^2+2\)
= \(2x+15\)
Chứng minh với mọi x, y \(\in R\), bất đẳng thức sau luôn đúng:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Dễ thấy:
\(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)
Áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Do đó:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)