a: Δ=(2m+2)^2-4(m-6)

=4m^2+8m+4-4m+24

=4m^2+4m+28

=(2m+1)^2+27>0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

c: Để (1) có ít nhất 1 nghiệm dương thì

m-6<0 hoặc (2m+2>0 và m-6>0)

=>m>6 hoặc m<6

Đáp án: A

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Ta xét các phương án:

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m^2+m\right)=-3m+1>0\Rightarrow m< \dfrac{1}{3}\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m^2+m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{x_1+x_2+2}{2}\\x_1x_2=m^2+m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1x_2=\left(\dfrac{x_1+x_2+2}{2}\right)^2+\dfrac{x_1+x_2+2}{2}\)

Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m (bạn có thể rút gọn thêm nếu cần)

Xét m=1 phương trình trở thành \(-4x+1=0\)có nghiệm duy nhất x=-1/4

với m#1 ta có \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m\left(m-1\right)=3m+1\)

với \(\hept{\begin{cases}m\ne1\\m>-\frac{1}{3}\end{cases}}\) pt có hai nghiệm phân biệt

với \(m=-\frac{1}{3}\) pt có nghiệm duy nhất

với \(m< -\frac{1}{3}\)pt vô nghiệm,

theo viet ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2\left(m+1\right)}{m-1}=2+\frac{4}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m}{m-1}=1+\frac{1}{m-1}\end{cases}}\) lấy phương trình trên trừ đi 4 lần phương trình dưới ta có 

\(x_1+x_2-4x_1x_2=-2\)

ý sau, ta có \(\left|x_1-x_2\right|=\frac{2\sqrt{\Delta'}}{\left|a\right|}=\frac{2\sqrt{3m+1}}{\left|m-1\right|}>2\)

\(\frac{\Leftrightarrow4\left(3m+1\right)}{\left(m-1\right)^2}\ge4\Leftrightarrow m^2-5m\le0\Rightarrow m\in\left[0,5\right]\)

kết hợp với đk có 2 nghiệm phân biệt ở câu a , ta có \(m\in\left[0,5\right]\backslash\left\{1\right\}\)

- Xét phương trình đề cho có :

\(\Delta^,=b^{,2}-ac=\left(m-1\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-2m+1-m+2\)

\(=m^2-3m+3\ge\dfrac{3}{4}>0\)

- Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

- Theo vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\2x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1+x_2-2x_1x_2=2m-2-2m+4=2\)

\(x^2-\left(2a-1\right)x-4a-3=0\)

\(\Delta=\left(2a-1\right)^2+4\left(4a+3\right)\)

\(=4a^2-4a+1+16a+12\)

\(=4a^2+12a+13=\left(2a+3\right)^2+4>0\)

Vì \(\Delta>0\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi a

Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2a-1\\x_1.x_2=-4a-3\end{matrix}\right.\) ⇒ \(x_1.x_2+2\left(x_1+x_2\right)=-5\)

Ta có:

\(A=x_1^2+x^2_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\)

\(=\left(2a-1\right)^2-2\left(-4a-3\right)\)

\(=4a^2-4a+1+8a+6\)

\(=\left(2a+1\right)^2+6\)

Vì \(\left(2a+1\right)^2\ge0\forall a\)

⇒\(A\ge6\)

Min A=6 <=> \(a=-\dfrac{1}{2}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có  x 1 + x 2 = m + 5 x 1 . x 2 = 3 m + 6 ⇔ 3 ( x 1 + x 2 ) = 3 m + 15 x 1 . x 2 = 3 m + 6

⇒ 3 ( x 1   +   x 2 )   −   x 1 . x 2   =     3 m   +   15   –   3 m   –   6   =   9

Vậy hệ thức cần tìm là 3 ( x 1   +   x 2 )   −   x 1 . x 2   =   9

Đáp án: C

a) Ta có: \(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)\)

\(=\left(2m-2\right)^2+4m\)

\(=4m^2-8m+4+4m\)

\(=4m^2-4m+4\)

\(=4m^2-4m+1+3\)

\(=\left(2m-1\right)^2+3>0\forall x\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm x1,x2 với mọi m(Đpcm)

b) Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1\cdot x_2=-m\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(y_1+y_2=x_1+\dfrac{1}{x_2}+x_2+\dfrac{1}{x_1}\)

\(=\left(x_1+x_2\right)+\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\right)\)

\(=\left(2m-2\right)+\dfrac{2m-2}{-m}\)

\(=2m-2-\dfrac{2m-2}{m}\)

\(=\dfrac{2m^2-2m-2m+2}{m}\)

\(=\dfrac{2m^2-4m+2}{m}\)

\(=\dfrac{2\left(m^2-2m+1\right)}{m}\)

\(=\dfrac{2\left(m-1\right)^2}{m}\)

Ta có: \(y_1y_2=\left(x_1+\dfrac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\dfrac{1}{x_1}\right)\)

\(=x_1x_2+2+\dfrac{1}{x_1x_2}\)

\(=-m+2+\dfrac{1}{-m}\)

\(=-m+2-\dfrac{1}{m}\)

\(=\dfrac{-m^2}{m}+\dfrac{2m}{m}-\dfrac{1}{m}\)

\(=\dfrac{-m^2+2m-1}{m}\)

\(=\dfrac{-\left(m-1\right)^2}{m}\)

Phương trình đó sẽ là:

\(x^2-\dfrac{2\left(m-1\right)^2}{m}x-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m}=0\)

a: Δ=(m+1)^2-4m=(m-1)^2>=0

=>Phương trình luôn có nghiệm

b: x1^2+x2^2+3x1x2=5

=>(x1+x2)^2+x1x2=5

=>(m+1)^2+m=5

=>m^2+3m-4=0

=>(m+4)(m-1)=0

=>m=1 hoặc m=-4