Chứng minh rằng với mọi x>1 ta luôn có: \(3\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)< 2\left(x^3-\dfrac{1}{x^3}\right)\)
Chứng minh rằng với mọi x, y, z > 0 ta có: \(\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)\ge2+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Ta có:
\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Ta có:
\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}+1\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}\)
Tương tự ...
Cộng lại ta có:
\(2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+6\ge3\left(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}-\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{y}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{z}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{z}{y}}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
P=\(\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{8\sqrt{x}+8}{x+2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{x+\sqrt{x}+3}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\)
a. rút gọn P
b. chứng minh rằng với mọi giá trị x ta luôn có P\(\le1\)
\(a,=\dfrac{x+8\sqrt{x}+8-\left(\sqrt{x+2}\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}:\dfrac{x+\sqrt{x}+3+\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\dfrac{x+8\sqrt{x}+8-x-4\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}.\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{2\sqrt{x}+x+5}\)
\(=\dfrac{4\sqrt{x}-4}{2\sqrt{x}+x+5}\)
Vậy \(P=\dfrac{4\sqrt{x}-4}{2\sqrt{x}+x+5}\)
Chứng minh rằng với mọi \(x,y\) ta luôn có
\(\left(x,y+1\right)\left(x^2y^2-xy+1\right)+\left(x^3-1\right)\left(1-y^3\right)=x^3+y^3\)
Nhanh lên ạ giúp mình zới :>
Chứng minh rằng với x > 0 thì: \(\dfrac{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^6-\left(x^6+\dfrac{1}{x^6}\right)-2}{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3+x^3+\dfrac{1}{x^3}}\ge6\)
Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có: \(3\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi tham số $m$:
$m{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}+\left( x+2 \right)\left( x-3 \right)=0$.
Xét hàm số f(x)=m(x+1)2(x−2)3+(x+2)(x−3)f(x)=m(x+1)2(x−2)3+(x+2)(x−3) xác định và liên tục trên RR
⇒f(x)⇒f(x) xác định và liên tục trên [−2;3][−2;3].
Ta có: {f(−2)=−64mf(3)=16m⇒f(−2).f(3)=−1024m2{f(−2)=−64mf(3)=16m⇒f(−2).f(3)=−1024m2.
+ Với m=0⇒f(−2)=f(3)=0m=0⇒f(−2)=f(3)=0
⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có nghiệm x=−2,x=−2, x=3.x=3.
+ Với m≠0⇒f(−2).f(3)<0m≠0⇒f(−2).f(3)<0
⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−2;3)(−2;3).
Vậy phương trình f(x)=0f(x)=0 luôn có nghiệm với mọi tham số m.
Xét hàm số \(f\left(x\right)=m\left(x+1\right)^2\left(x-2\right)^3+\left(x+2\right)\left(x-3\right)\)
f(x)=m(x+1)2(x−2)3+(x+2)(x−3), \(D=ℝ\)
R⇒f(x)⇒f(x) xác định và liên tục trên [−2;3][−2;3].
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-2\right)=-64m\\f\left(3\right)=16m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(3\right)=-1024m^2\)
+ Với m=0⇒f(−2)=f(3)=0m=0⇒f(−2)=f(3)=0
⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có nghiệm x=−2,x=−2, x=3.x=3.
+ Với m≠0⇒f(−2).f(3)<0m≠0⇒f(−2).f(3)<0
⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−2;3)(−2;3).
Vậy phương trình f(x)=0f(x)=0 luôn có nghiệm với mọi tham số m.
Chứng minh rằng :
a)\(\dfrac{1}{x}\)-\(\dfrac{1}{x+a}=\dfrac{a}{x\left(x+a\right)}\)
b)\(\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}-\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{2}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}\)
c)\(\dfrac{1}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{3}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\)
a)Ta thấy:
\(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+a}=\dfrac{x+a}{x\left(x+a\right)}-\dfrac{x}{x\left(x+a\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+a\right)-x}{x\left(x+a\right)}\)
\(=\dfrac{a}{x\left(x+a\right)}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b)Ta thấy:
\(\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}-\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{x\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)}-\dfrac{x\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)}\)
\(=\dfrac{x+2}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{x}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+2\right)-x}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{2}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}\Rightarrowđpcm\)
c)Ta thấy:
\(\dfrac{1}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{x\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)^2\left(x+3\right)}-\dfrac{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{x\left(x+1\right)^2\left(x+2\right)^2\left(x+3\right)}=\dfrac{x+3}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}-\dfrac{x}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{x+3-x}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{3}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\Rightarrowđpcm\)
a/ \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+a}=\dfrac{a}{x\left(x+a\right)}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+a}=\dfrac{x+a}{x\left(x+a\right)}-\dfrac{x}{x\left(x+a\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x-x\right)+a}{x\left(x+a\right)}\) hay \(\dfrac{a}{x\left(x+a\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+a}=\dfrac{a}{x\left(x+a\right)}\left(đpcm\right)\)
Chú ý nếu \(c>0\) thì \(\left(a+b\right)^2+c\) và \(\left(a-b\right)^2+c\) đều dương với mọi a, b
Áp dụng điều này chứng minh rằng :
a) Với mọi giá trị x khác \(\pm1\), biểu thức :
\(\dfrac{x+2}{x-1}.\left(\dfrac{x^3}{2x+2}+1\right)-\dfrac{8x+7}{2x^2-2}\) luôn có giá trị dương
b) Với mọi giá trị của x khác 0 và khác - 3, biểu thức :
\(\dfrac{1-x^2}{x}.\left(\dfrac{x^2}{x+3}-1\right)+\dfrac{3x^2-14x+3}{x^2+3x}\) luôn có giá trị âm
Vì \(x^2-4x+5=x^2-4x+4+1=\left(x-2\right)^2+1\ge1>0\) với mọi giá trị của \(x\) nên giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị khác 0 và khác -3 của \(x\)
Chứng minh đẳng thức sau :
a. \(\left[\dfrac{1}{a-1}-\dfrac{2a}{\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)}\right]:\dfrac{a^2+a+1}{a^2+1}=\dfrac{a-1}{a^2+a+11}\) VỚI a ≠ 1
b. \(\left(\dfrac{1-x^3}{1-x}-x\right):\dfrac{1+x}{1-x-x^2+x^3}=\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)\)
Câu a bạn sửa lại đề 11→1
\(a,VT=\dfrac{a^2-2a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+1\right)}\cdot\dfrac{a^2+1}{a^2+a+1}\\ =\dfrac{\left(a-1\right)^2}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\dfrac{a-1}{a^2+a+1}=VP\)
\(b,=\left[\dfrac{\left(1-x\right)\left(x^2+x+1\right)}{1-x}-x\right]\cdot\dfrac{\left(1+x\right)\left(1-x^2\right)}{1+x}\\ =\dfrac{\left(x^2+1\right)\left(1+x\right)\left(1-x^2\right)}{1+x}=\left(x^2+1\right)\left(1-x^2\right)=VP\)