CMR: Nếu \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\) và \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{abc}}\) thì \(b+c\ge4abc\)
Các bạn ơi bài này có xảy ra dấu bằng không ạ
Ai giỏi toán hiện hồn giải hộ tớ bài này :3
Cho \( , y , z > 0 \) và không có 2 số nào đồng thời bằng 0 cmr:
\(\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}\)
\(\ge2\sqrt{1+\dfrac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)
đề cho thêm x nữa hén=) , p/s đưa đề đàng hoàng có thịn cảm ng làm hén , ụa mà hiện hồn là sao.-. ghét nghỉ=))
CMR nếu \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\) và \(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{abc}}\) thì b+c> 4abc
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\\\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{abc}}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=4\\\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+c=2\)
Ta cần chứng minh:
\(b+c>4abc\)
\(\Leftrightarrow b+c-4\left(2-b-c\right)bc>0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-4bc+4bc^2\right)+\left(c-4bc+4cb^2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-2c\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{c}-2b\sqrt{c}\right)^2>0\) (đúng vì dấu = không xảy ra).
có thể giúp mình giải bài này với đc k ạ mình đang cần gấp (xin cảm ơn)
Bài 1:
a,\(3x-7\sqrt{x}+4=0\)
b, \(\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}-\dfrac{9}{2}\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-1}=-17\)
c, \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-4}=\dfrac{6-\sqrt{x}}{7-\sqrt{x}}\)
d, \(\sqrt{x-3}-\dfrac{5}{3}\sqrt{9x-27}+\dfrac{3}{2}\sqrt{4x-12}=-1\)
Bài 2:
a, \(\sqrt{x^2+6x+9}=3x-6\)
b, \(\sqrt{3x^2}=x+2\)
c, \(\sqrt{x^2-4x+4}-2x+5=0\)
d, \(x^2-2\sqrt{7x}+7=0\)
Bài 3:
a, \(\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=3\)
b, \(\sqrt{3+x}-\sqrt{2-x}=1\)
Bài 2
b, `\sqrt{3x^2}=x+2` ĐKXĐ : `x>=0`
`=>(\sqrt{3x^2})^2=(x+2)^2`
`=>3x^2=x^2+4x+4`
`=>3x^2-x^2-4x-4=0`
`=>2x^2-4x-4=0`
`=>x^2-2x-2=0`
`=>(x^2-2x+1)-3=0`
`=>(x-1)^2=3`
`=>(x-1)^2=(\pm \sqrt{3})^2`
`=>` $\left[\begin{matrix} x-1=\sqrt{3}\\ x-1=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.$
`=>` $\left[\begin{matrix} x=1+\sqrt{3}\\ x=1-\sqrt{3}\end{matrix}\right.$
Vậy `S={1+\sqrt{3};1-\sqrt{3}}`
Bài 1
a, `3x-7\sqrt{x}+4=0` ĐKXĐ : `x>=0`
`<=>3x-3\sqrt{x}-4\sqrt{x}+4=0`
`<=>3\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-4(\sqrt{x}-1)=0`
`<=>(3\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}-1)=0`
TH1 :
`3\sqrt{x}-4=0`
`<=>\sqrt{x}=4/3`
`<=>x=16/9` ( tm )
TH2
`\sqrt{x}-1=0`
`<=>\sqrt{x}=1` (tm)
Vậy `S={16/9;1}`
b, `1/2\sqrt{x-1}-9/2\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-1}=-17` ĐKXĐ : `x>=1`
`<=>(1/2-9/2+3)\sqrt{x-1}=-17`
`<=>-\sqrt{x-1}=-17`
`<=>\sqrt{x-1}=17`
`<=>x-1=289`
`<=>x=290` ( tm )
Vậy `S={290}`
Bài 1:
a) Ta có: \(3x-7\sqrt{x}+4=0\)
\(\Leftrightarrow3x-3\sqrt{x}-4\sqrt{x}+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.\)
b) Ta có: \(\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}-\dfrac{9}{2}\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-1}=-17\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\cdot\left(-1\right)=-17\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=17\)
\(\Leftrightarrow x-1=289\)
hay x=290
a. CMR: Nếu x2+y2=1 thì -\(\sqrt{2}\) bé hơn hoặc bằng x+y bé hơn hoặc bằng \(\sqrt{2}\)
b.Cho x,y,z ∈R+.CMR:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\) lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\)
Cho x, y, z > 0 thoả mãn x+y+z=2. Tìm GTNN của các biểu thức:
a) \(A=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
b) \(B=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}\)
c) \(C=\sqrt{2x^2+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{4}{z}}+\sqrt{2y^2+\dfrac{3}{z^2}+\dfrac{4}{x^2}}+\sqrt{2z^2+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{4}{y^2}}\)
x12=y9=z5=k" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax">x12=y9=z5=k
x5=y7=z3=x225=y249=z29" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax">x5=y7=z3=x225=y249=z29
x5=y7=z3=x225=y249=z29=x2+y2−z225+49−9=58565=9" role="presentation" style="border:0px; box-sizing:border-box; direction:ltr; display:inline; float:none; line-height:normal; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax">x5=y7=z3=x225=y249=z29=x2+y2−z225+49−9=58565=9
=>x=5.9=45
y=7.9=63
z=3*9=27
vậy x=45,y=63,z=27
Mọi người ơi, giúp em giải bài này chi tiết với ạ, em cảm ơn nhiều.
\(B=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{2}{x-\sqrt{x}}\right):\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\)
Cho x;y;z>0 và không có 2 số nào đồng thời bằng 0.CMR:
\(\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}\ge2\sqrt{1+\dfrac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)
Cho x, y, z > 0 thoả mãn x+y+z=2. Tìm GTNN của các biểu thức:
a) \(A=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
b) \(B=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}\)
c) \(C=\sqrt{2x^2+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{4}{z}}+\sqrt{2y^2+\dfrac{3}{z^2}+\dfrac{4}{x^2}}+\sqrt{2z^2+\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{4}{y^2}}\)
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Mincopxki và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(A=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}\)
\(A\ge\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}=\sqrt{\dfrac{97}{4}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
\(B=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(B=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{162}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(B\ge\sqrt{4+\dfrac{162}{4}}=\sqrt{\dfrac{89}{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
Cho 3 số dương x,y,z. CMR:\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}>=3\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}+2\sqrt{z}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}+2\sqrt{x}}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT trên ta có:
\(\dfrac{1}{3}VP\le\dfrac{1}{9}\cdot3\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)=\dfrac{1}{3}VT\)
Xảy ra khi \(x=y=z\)