Ta có : \(\dfrac{HD}{AD}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\)( Do có chung đáy BC nên tỉ số hai đường cao bằng tỉ số hai diện tích) ( *)

Tương tự , ta có : \(\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}\) (**) Và \(\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\)(***)

Từ ( *; **; ***) Ta có được :

\(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{HAC}+S_{HBC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

đéo biết

< Bạn tự vẽ hình nha>

a)Xét ΔABE và  ΔACF, ta có:

góc A: chung

góc F=góc E= 90^o

^Vậy  ΔABE ∼  ΔACF (g.g)

b)Xét  ΔHEC và  ΔHFB là:

góc H: chung

H₁=H₂(đối đỉnh)

Vậy  ΔHEC∼ ΔHFB (g.g)

⇒\(\dfrac{HE}{HF}\)=\(\dfrac{HC}{HB}\)⇔HE.HB=HF.HC

<Mình chỉ biết đến đó thôi>

c: góc AFH+góc AEH=180 độ

=>AFHE nội tiếp

góc HDC+góc HEC=180 độ

=>HECD nội tiếp

góc HFB+góc HDB=180 độ

=>HFBD nội tiếp

góc FEH=góc BAD

góc DEH=góc FCB

góc BAD=góc FCB

=>góc FEH=góc DEH

=>EH là phân giác của góc FED(1)

góc EFH=góc DAC

góc DFC=góc EBC

góc DAC=góc EBC

=>góc EFH=góc DFH

=>FH là phân giác của góc DFE(2)

Từ (1), (2) suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp ΔDEF

e: Xét ΔBFH vuông tại F và ΔBEA vuông tại E có

góc EBA chung

=>ΔBFH đồng dạng với ΔBEA

=>BH*BE=BF*BA

Xet ΔAFH vuông tại F và ΔADB vuông tại D có

góc FAH chung

=>ΔAFH đồng dạng với ΔADB

=>AH*AD=AF*AB

=>BH*BE+AH*AD=AB^2

Ta có: \(\dfrac{AD.BC}{2}=S_{ABC}\Rightarrow AD=\dfrac{2S_{ABC}}{BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{HD}{AD}=\dfrac{HD.BC}{2S_{ABC}}\)

Tương tự: \(\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{HE.AC}{2S_{ABC}};\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{HF.AB}{2S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{BHC}+S_{AHC}+S_{AHC}}{S_{ABC}}=1\)

\(Ta.có:\\ S_{HBC}=\dfrac{1}{2}.BH.CD\\ S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.BC.AD\\ \Rightarrow\dfrac{HD}{DA}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\\ Tương.tự:\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{S_{AHC}}{S_{ABC}};\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ABc}}\\ Vậy.\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HF}{CF}+\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{S_{BCH}+S_{ACH}+S_{ABH}}{S_{ABC}}=1\)

Lời giải:

câu c)

Ta có: \(\frac{HD}{AD}=\frac{HD.BC}{AD.BC}=\frac{2S_{BHC}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\)

\(\frac{HE}{BE}=\frac{HE.AC}{BE.AC}=\frac{2S_{AHC}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\)

\(\frac{HF}{CF}=\frac{HF.AB}{CF.AB}=\frac{2S_{AHB}}{2S_{ABC}}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

Cộng theo vế các đẳng thức vừa thu được:

\(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}+S_{AHC}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Ta có đpcm.

a: Xét ΔAHE vuông tại E và ΔBHD vuông tại D có

góc AHE=góc BHD

Do đó: ΔAHE đồng dạng với ΔBHD

=>HA/HB=HE/HD

hay HA*HD=HB*HE

Xét ΔHAF vuông tại F và ΔHCD vuông tại D có

góc AHF=góc CHD

DO đó; ΔHAF đồng dạng với ΔHCD
=>HA/HC=HF/HD

hay HA*HD=HC*HF=BH*HE

b: Xét tứ giác BFHD có góc BFH+góc BDH=180 độ

nênBFHD là tứ giác nội tiếp

=>góc FDH=góc ABE

Xét tứ giác HECD có góc HEC+góc HDC=180 độ

nên HECD là tứ giác nội tiếp

=>góc EDH=góc ACF

=>góc FDH=góc EDH

=>DH là phân giác của góc FDE