Đặt \(t=x^2-2x+3\left(t\ge2\right)\)

Phương trình trở thành \(f\left(t\right)=t^2+2\left(3-m\right)t+m^2-6m=0\left(1\right)\)

Phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm \(t_1\ge t_2\ge2\) khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}\ge2\\1.f\left(2\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3-m\right)^2-m^2+6m\ge0\\m-3\ge2\\m^2-10m+16\ge0\end{matrix}\right.\)

Giải ra tập giá trị của m rồi lấy các giá trị thuộc \(\left[-10;10\right]\)

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m+2)(m-4)<0

=>-2<m<4

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\sqrt{4x+m}=t\ge0\Rightarrow m=t^2-4x\)

\(2x^2-6x=\left(x+1\right)t+t^2-4x\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x\left(t+2\right)-t^2-t=0\)

\(\Delta=\left(t+2\right)^2+8\left(t^2+t\right)=\left(3t+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{t+2+3t+2}{4}=t+1\\x=\dfrac{t+2-3t-2}{4}=-\dfrac{t}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{4x+m}=x-1\left(x\ge1\right)\\\sqrt{4x+m}=-2x\left(x\le0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=x^2-6x+1\left(x\ge1\right)\\m=4x^2-4x\left(x\le0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-8\\-4< m< 0\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

- Với \(x=0\) không phải nghiệm

- Với \(x>0\) , chia 2 vế của pt cho \(x\) ta được:

\(\dfrac{4x^2+1}{x}+2\sqrt{\dfrac{4x^2+1}{x}}+3-2m=0\)

Đặt \(t=\sqrt{\dfrac{4x^2+1}{x}}\ge\sqrt{\dfrac{2\sqrt{4x^2}}{x}}=2\)

Pt trở thành: \(t^2+2t+3-2m=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t+3=2m\) (1)

Pt đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm \(t\ge2\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+2t+3\) khi \(t\ge2\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}a=1>0\\-\dfrac{b}{2a}=-1< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến khi \(t\ge2\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge f\left(2\right)=11\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi \(2m\ge11\Rightarrow m\ge\dfrac{11}{2}\)

hello

\(\Delta=4m^2+20m+25-8m-4=4m^2+12m+21=\left(2m+3\right)^2+12>0\)

 với mọi m => pt có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

theo Viet (điều kiện m > -1/2)

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m+5\\x1.x2=2m+1\end{matrix}\right.\)

\(p^2=x1-2\left|\sqrt{x1.x2}\right|+x2=2m+5-2\sqrt{2m+1}=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+3\ge3< =>p\ge\sqrt{3}\)

dấu bằng xảy ra khi \(\sqrt{2m+1}=1< =>m=0\left(tm\right)\)

a) Pt\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2xcos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)+3sinx.cosx-\dfrac{m}{4}+2=0\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{3}{4}sin^22x-\dfrac{3}{2}sin2x-\dfrac{m}{4}+2=0\)

\(\Leftrightarrow-3sin^22x-6sin2x-m+12=0\)

Đặt \(t=sin2x;t\in\left[-1;1\right]\)

Pttt: \(-3t^2-6t-m+12=0\)

\(\Leftrightarrow-3t^2-6t+12=m\) (1)

Đặt \(f\left(t\right)=-3t^2-6t+12;t\in\left[-1;1\right]\) 

Vẽ BBT sẽ tìm được \(f\left(t\right)_{min}=3;f\left(t\right)_{max}=15\)\(\Leftrightarrow3\le f\left(t\right)\le15\)\(\Rightarrow m\in\left[3;15\right]\) thì pt (1) sẽ có nghiệm

mà \(m\in Z\) nên tổng m nguyên để pt có nghiệm là 13 m

Vậy có tổng 13 m nguyên

b) Pt\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\left(1\right)\\2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\left(k\in Z\right)\)

\(x\in\left[0;2\pi\right]\Rightarrow0\le\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\le2\pi\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}\le k\le\dfrac{3}{4}\)\(\Rightarrow k=0\)

Tại k=0\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\)

Để pt ban đầu có 4 nghiệm pb \(\in\left[0;2\pi\right]\)

\(\Leftrightarrow\) Pt (2) có 3 nghiệm pb khác \(\dfrac{\pi}{2}\)

Xét pt (2) có: \(2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\)

Vì là phương trình bậc hai ẩn \(cosx\) nên pt (2) chỉ có nhiều nhất ba nghiệm \(\Leftrightarrow\) Pt (2) có một nghiệm cosx=0

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) mà \(x\ne\dfrac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow\) Pt (2) chỉ có nhiều nhất hai nghiệm

\(\Rightarrow\) Pt ban đầu không thể có 4 nghiệm phân biệt

Vậy \(m\in\varnothing\)