Question

Cho pt \(x^2-\left(2m+5\right)x+2m+1=0\). Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1\), \(x_2\) thỏa mãn \(P=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) đạt GTNN.

Answer 1

\(\Delta=4m^2+20m+25-8m-4=4m^2+12m+21=\left(2m+3\right)^2+12>0\)

 với mọi m => pt có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

theo Viet (điều kiện m > -1/2)

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m+5\\x1.x2=2m+1\end{matrix}\right.\)

\(p^2=x1-2\left|\sqrt{x1.x2}\right|+x2=2m+5-2\sqrt{2m+1}=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+3\ge3< =>p\ge\sqrt{3}\)

dấu bằng xảy ra khi \(\sqrt{2m+1}=1< =>m=0\left(tm\right)\)