a: Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>CE\(\perp\)AB

Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>BF\(\perp\)AC

XétΔABC có

CE,BF là đường cao

CE cắt BF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

b: Xét ΔAEC vuông tại E và ΔAFB vuông tại F có

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAEC ~ΔAFB

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AC\cdot AF;\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

c: Xét ΔAEF và ΔACB có

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔACB

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)

d: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

=>AEHF là tứ giác nội tiếp

=>A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn

a:

Gọi O là trung điểm của AB

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>BD vuông góc AC tại D

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>AE vuông góc BC tại E

Xét tứ giác CDHE có

góc CDH+góc CEH=180 độ

=>CDHE nội tiếp

b: Xét ΔCAB có

AE,BD là đường cao

AE cắt BD tại H

=>H là trực tâm

=>CH vuông góc AB tại K

c: Xét ΔAKH vuông tại K và ΔAEB vuông tại E có

góc KAH chung

Do đó: ΔAKH đồng dạng với ΔAEB

=>AK/AE=AH/AB

=>AH*AE=AK*AB

Xét ΔBKH vuông tại K và ΔBDA vuông tại D có

góc KBH chung

Do đó: ΔBKH đồng dạng với ΔBDA
=>BK/BD=BH/BA

=>BK*BA=BH*BD

AH*AE+BH*BD

=AK*AB+BK*BA

=BA^2

a) ....................... =) C, D, H, E cùng thuộc 1 đường tròn.

b) ....................... =) CH ⊥ AB.

c) ....................... =) AH.AE + BH.BD = AB².

a) Để chứng minh rằng bốn điểm C, D, H, E cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng định lí góc nội tiếp. Theo định lí này, nếu một góc nội tiếp của một đa giác nằm trên cùng một đường tròn, thì các đỉnh của góc đó cũng nằm trên đường tròn đó. Trong trường hợp này, ta có thể chứng minh rằng góc CHD và góc CED là góc nội tiếp của tam giác ABC, do đó bốn điểm C, D, H, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Để chứng minh rằng CH vuông góc với AB, ta sử dụng định lí góc nội tiếp. Theo định lí này, nếu một góc nội tiếp của một đa giác nằm trên cùng một đường tròn, thì góc đó và góc ngoại tiếp của nó có tổng bằng 180 độ. Trong trường hợp này, ta có thể chứng minh rằng góc CHD và góc CED là góc nội tiếp của tam giác ABC, do đó tổng của hai góc này bằng 180 độ. Vì góc CHD và góc CED là hai góc bù nhau, nên CH vuông góc với AB.

c) Để chứng minh rằng AH⋅AE+BH⋅BD=AB^2, ta sử dụng định lí Ptolemy. Theo định lí này, trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tích của hai đường chéo bằng tổng tích của hai cạnh đối diện. Trong trường hợp này, ta có thể chứng minh rằng tứ giác AEBD là một tứ giác nội tiếp đường tròn, do đó AH⋅AE+BH⋅BD=AB^2.

Vậy, ta đã chứng minh được a), b), c) như yêu cầu.

a: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔDCB vuông tại D

=>CD\(\perp\)DB tại D và \(\widehat{CDB}=90^0\)

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>\(\widehat{BEC}=90^0\)

ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)EB tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

b:

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,D,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AH

=>I là trung điểm của AH

c: Xét ΔABC có 

BE,CD là đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại K

Xét ΔHAC có

I,M lần lượt là trung điểm của HA,HC

=>IM là đường trung bình của ΔHAC

=>IM//AC

Xét ΔBHC có

M,O lần lượt là trung điểm của CH,CB

=>MO là đường trung bình của ΔBHC

=>OM//BH

OM//BH

BH\(\perp\)AC

Do đó: OM\(\perp\)AC

IM//AC

OM\(\perp\)AC

Do đó: IM\(\perp\)OM

d: ID=IH

=>ΔDIH cân tại I

=>\(\widehat{IDH}=\widehat{IHD}\)

mà \(\widehat{IHD}=\widehat{KHC}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{KHC}=\widehat{CBD}\left(=90^0-\widehat{DCB}\right)\)

nên \(\widehat{IDH}=\widehat{CBD}\)

OD=OC

=>ΔODC cân tại O

=>\(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)

=>\(\widehat{HDK}=\widehat{DCB}\)

\(\widehat{IDK}=\widehat{IDH}+\widehat{KDH}\)

\(=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}=90^0\)

=>ID là tiếp tuyến của (O)(1)

Xét ΔIDO và ΔIEO có

ID=IE

DO=EO

IO chung

Do đó: ΔIDO=ΔIEO

=>\(\widehat{IDO}=\widehat{IEO}=90^0\)

=>IE là tiếp tuyến của (O)(2)

Từ (1),(2) suy ra các tiếp tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại I(ĐPCM)

a, Có O là trung điểm của BC

Mà D(O;BC) => OB = OD = OC

=> ∆BDC vuông tại D => CDAB

Tương tự BEAC

b, Xét ∆ABC có K là trực tâm => AKBC

a: Xét (O) có 

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

Xét ΔABC có 

BE là đường cao

CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: AH⊥BC

hay AF⊥BC

a: Xét (O) có 

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

Xét (O) có 

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

Xét ΔABC có

BD là đường cao

CE là đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: AH⊥BC

a:

góc BDC=góc BEC=1/2*sđ cung BC=90 độ

=>CD vuông góc AB và BE vuông góc AC

Xét ΔABC có

CD,BE là đường cao

CD cắt BE tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC

b: góc AEH+góc ADH=180 độ

=>AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>I là trung điểm của AH

c: góc BDC=góc BEC=90 độ

=>BDEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>O là trung điểm của BC

d: ID=IE

OD=OE

=>OI là trung trực của DE

=>OI vuông góc DE

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD\(\perp\)DB tại D

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)EC tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét ΔABC có

BE,CD là đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

a/ Ta có góc BDC=90 độ ( góc nt chăn nửa đường tròn)

suy ra góc ADH = 90 độ ( kề bù ) 

góc BEC= 90 độ ( góc nt chắn nửa đường tròn) 

suy ra góc AEH = 90 độ ( kề bù )

Tư giác ADHE có góc ADH + góc AEH = 90 độ + 90 độ = 180 độ 

Hại góc ở vị tri đối nhau . Do đó tứ giác ADHE nt đường tròn.

b/

c/Ta có góc BDC = 90 độ ( góc nt chắn nửa đt)

góc BEC = 90 độ ( góc nt chắn 1/2 đt)

Tứ giác BDEC có hai đỉnh kề D và E cùng nhìn BC dưới một góc vuông . Do đó tứ giác BDEC nt 

suy ra góc BDE + góc BCE = 180 độ      (1)

Mặt khác : góc ADE + góc BDE = 180 độ ( kề bù ) (2) 

(1) (2) suy ra góc ADE = góc ACB 

Xét tam giác ADE và tam giác ACB có 

goc BAC chung 

goc ADE = góc BAC (cmt)

suy ra tam giác ADE đồng dạng tam giác ACB (g.g)

nên AD/AC = AE/AB

hay AD.AB =AE.AC.