Bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

a: Ta có: \(\widehat{CHB}=90^0\)

=>ΔCHB vuông tại H

=>ΔCHB nội tiếp đường tròn đường kính CB(4)

Ta có: \(\widehat{CKB}=90^0\)

=>ΔCKB vuông tại K

=>ΔCKB nội tiếp đường tròn đường kính CB(5)

Từ (4) và (5) suy ra C,H,B,K cùng thuộc đường tròn đường kính CB

b:

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Ta có: \(\widehat{OCB}+\widehat{BCK}=\widehat{OCK}=90^0\)

\(\widehat{OCB}+\widehat{OCA}=\widehat{BCA}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{BCK}=\widehat{OCA}\)(1)

Ta có: CHBK là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BCK}=\widehat{BHK}\left(2\right)\)

Xét ΔOAC có OC=OA

nên ΔOAC cân tại O

=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{BHK}=\widehat{OAC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên HK//AC

vẽ hộ hình giúp mình với phần a) Cm 2 tam giác nội tiếp

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD\(\perp\)DB tại D

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)EC tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét ΔABC có

BE,CD là đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

\(\Delta ABC\) vuông tại A

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\) (Pytago)

\(=5^2+12^2\)

\(=169\)

\(\Rightarrow BC=13\left(cm\right)\)

Gọi R là bán kính cần tìm

\(\Rightarrow\) Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\):

\(R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{13}{2}=6,5\left(cm\right)\)

a: Xét (O) có

ΔANB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔANB vuông tại N

=>BN\(\perp\)AM

Xét (O) có

ΔAPB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAPB vuông tại P

=>AP\(\perp\)MB

b: Xét ΔMAB có

AP,BN là các đường cao

AP cắt BN tại K

Do đó: K là trực tâm của ΔMAB

=>MK\(\perp\)AB

1: Xét tứ giác AFDC có

\(\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^0\)

nên AFDC là tứ giác nội tiếp

2: Xét tứ giác AEDB có

\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)

nên AEDB là tứ giác nội tiếp

3:

Xét tứ giác AFHE có

\(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

=>AEHF là tứ giác nội tiếp

4: Xét tứ giác HECD có

\(\widehat{HEC}+\widehat{HDC}=90^0+90^0=180^0\)

=>HECD là tứ giác nội tiếp

Bạn ghi đầy đủ đề đi bạn

Lời giải:

Xét tứ giác $BEDC$ có: 

$\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0$. Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BEDC$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow B,C,E,D$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

a: Xét (I) có

ΔHDB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHDB vuông tại D

=>HD\(\perp\)AB

Xét (K) có

ΔCEH nội tiếp

CH là đường kính

Do đó: ΔCEH vuông tại E

=>HE\(\perp\)AC

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=16\)

=>AC=4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=2,4(cm)

ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE=2,4(cm)

\(\widehat{EDI}=\widehat{EDH}+\widehat{IDH}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{IHD}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^0\)

=>ED\(\perp\)DI

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{KHE}+\widehat{HAB}\)

\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>EK\(\perp\)ED

mà ED\(\perp\)DI

nên EK//DI 

Xét tứ giác EDIK có

EK//DI

ED\(\perp\)EK

Do đó: EDIK là hình thang vuông
\(DI+EK=\dfrac{1}{2}HB+\dfrac{1}{2}HC=\dfrac{1}{2}\cdot\left(HB+HC\right)=2,5\left(cm\right)\)

\(S_{EDIK}=\dfrac{1}{2}\cdot ED\cdot\left(EK+DI\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot2,4\cdot2,5=3\left(cm^2\right)\)

a: Xét (O) có

ΔAHB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAHB vuông tại H

=>AH\(\perp\)BC tại H

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100\)

=>\(BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH\cdot BC=AB\cdot AC\\CA^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{6\cdot8}{10}=4,8\left(cm\right)\\CH=\dfrac{8^2}{10}=6,4\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: ΔOAH cân tại O

mà OK là đường cao

nên OK là phân giác của \(\widehat{AOH}\)

Xét ΔOAD và ΔOHD có

OA=OH

\(\widehat{AOD}=\widehat{HOD}\)

OD chung

Do đó: ΔOAD=ΔOHD

=>\(\widehat{OAD}=\widehat{OHD}=90^0\)

=>HD\(\perp\)HO

a: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

=>ΔABC nội tiếp (M)

b: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\dfrac{BC}{2}=5\left(cm\right)\)

=>R=5cm