Cho x , y là số thực dương t/m \(x+\frac{1}{y}\le\frac{1}{2}\). Tìm min của biểu thức: \(A=\frac{256x^2+2017y^2}{16xy}\)
1) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{zx}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{xy}\)
2)Cho x>y và x+y≤1 .Tìm Min của A=\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}\)
\(P=\sum\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}\ge\sum\frac{4x^2\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)^2}=\sum\frac{4x^2}{y+z}\ge\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=2\left(x+y+z\right)=2\)
\(P_{min}=2\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Câu 2 có dương không nhỉ? Không dương thì không làm được
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{6}{\left(x+y\right)^2}\ge6\)
\(A_{min}=6\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
1) \(P\ge\frac{x^2.2\sqrt{yz}}{yz}+\frac{y^2.2\sqrt{zx}}{zx}+\frac{z^2.2\sqrt{xy}}{xy}=\frac{2x^2}{\sqrt{yz}}+\frac{2y^2}{\sqrt{zx}}+\frac{2z^2}{\sqrt{xy}}\ge4\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)=4\left\{\left[\frac{x^2}{y+z}+\frac{1}{4}\left(y+z\right)\right]+\left[\frac{y^2}{z+x}+\frac{1}{4}\left(z+x\right)\right]+\left[\frac{z^2}{x+y}+\frac{1}{4}\left(x+y\right)\right]\right\}-2\left(x+y+z\right)\ge4\left(x+y+z\right)-2\left(x+y+z\right)=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
2) \(A=\left[\frac{1}{x^2+y^2}+4\left(x^2+y^2\right)\right]+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)-4\left(x+y\right)^2-8xy\ge4+8-4-2.\left(x+y\right)^2=8-2.\left(x+y\right)^2\ge8-2=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)
Cho 2 số thực dương x ,y thỏa mãn 4xy = 1 . Tìm GTNN của biểu thức .
\(A=\frac{2\left(x-y\right)^2+16xy}{x+y}\)
Ta co A = 2(x+y)+\(\frac{2}{x+y}\)\(\ge2\sqrt{2\left(x+y\right).\frac{2}{x+y}}\)=4 khi x=y =\(\frac{1}{2}\)
Cho x,y,z là 3 số thực dương thõa mãn x+y+z\(\le\frac{3}{2}\). Tìm Min A=\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
Áp dụng bđt bunhiacopxki, ta có:
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1+16\right)\ge\left(x+\frac{4}{x}\right)^2\) => \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge\frac{\left(x+\frac{4}{x}\right)^2}{17}\)
=> \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{x+\frac{4}{x}}{\sqrt{17}}=\frac{x}{\sqrt{17}}+\frac{4}{x\sqrt{17}}\)
CMTT: \(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{y}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}y}\)
\(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}z}\)
=> A \(\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}\)(bđt: 1/a + 1/b + 1/c > = 9/(a+b+c)
=> A \(\ge\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}-\frac{15\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\)
A \(\ge2\sqrt{\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\cdot\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}}-\frac{15\cdot\frac{3}{2}}{\sqrt{17}}\)(Bđt cosi + bđt: x + y + z < = 3/2)
A \(\ge\frac{48}{\sqrt{17}}-\frac{45}{2\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y= z = 1/2
Vậy MinA = \(\frac{3\sqrt{17}}{2}\) <=> x = y = z = 1/2
Cho x,y,z là các số thực dương t/m: x+y+z=3 . Tìm min BT \(A=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\)
\(A=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}=x\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)+y\left(1-\frac{z^2}{1+z^2}\right)+z\left(1-\frac{x^2}{1+x^2}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge x\left(1-\frac{y}{2}\right)+y\left(1-\frac{z}{2}\right)+z\left(1-\frac{x}{2}\right)=\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\ge3-\frac{\frac{9}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
Vay \(A_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)
Tìm 2 số thực dương x,y thỏa mãn x+y≤1
Tìm GTNN của biểu thức: M=\(4xy+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}\)
\(M=4xy+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+24xy-20xy\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(\frac{3}{2xy}+24xy\ge12\)
Và: \(1\ge x+y\)
\(\Leftrightarrow1\ge\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow-20xy\ge-5\)
\(\Rightarrow M\ge4+12-5=11\)
\(''=''\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy...
\(M=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+4xy+\frac{1}{4xy}+\frac{5}{4xy}\)
\(M\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(M\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}+2=\frac{9}{\left(x+y\right)^2}+2\ge\frac{9}{1}+2=11\)
\(\Rightarrow M_{min}=11\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
47/004
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(log_{\frac{1}{3}}x+log_{\frac{1}{3}}y\le log_{\frac{1}{3}}\left(x+y^2\right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = 2x + 3y
\(\Leftrightarrow log_{\frac{1}{3}}xy\le log_{\frac{1}{3}}\left(x+y^2\right)\)
\(\Rightarrow xy\ge x+y^2\) (do \(\frac{1}{3}< 1\))
\(\Rightarrow x\left(y-1\right)\ge y^2\) (\(y-1>0\) do
Nếu \(y\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\le0\\VP>0\end{matrix}\right.\) (vô lý)
\(\Rightarrow y>1\Rightarrow x\ge\frac{y^2}{y-1}\)
\(\Rightarrow P=2x+3y\ge\frac{2y^2}{y-1}+3y=5y+2+\frac{2}{y-1}\)
\(\Rightarrow P\ge5\left(y-1\right)+\frac{2}{y-1}+7\ge2\sqrt{\frac{10\left(y-1\right)}{y-1}}+7=7+2\sqrt{10}\)
\(P_{min}=7+2\sqrt{10}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}y=1+\frac{\sqrt{10}}{5}\\x=\frac{y^2}{y-1}=...\end{matrix}\right.\)
Cho x, y là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện \(x+y\le\frac{4}{3}\) . Tìm GTNN của biểu thức \(A=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
Dự đoán điểm rơi tại x = y = 2/3 ta sẽ làm như sau
\(A=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=\left(\frac{9x}{4}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{9y}{4}+\frac{1}{y}\right)-\frac{5}{4}\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{9x}{4x}}+2\sqrt{\frac{9y}{4y}}-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}=\frac{13}{3}\)
Dấu "=" tại x = y = 2/3
Cách khác là UCT (không hay như cách kia đâu=)
Ta sẽ chứng minh: \(x+\frac{1}{x}\ge-\frac{5}{4}x+3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-2\right)^2}{4x}\ge0\) (đúng)
Thiết lập tương tự BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(VT\ge-\frac{5}{4}\left(x+y\right)+6\ge-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}+6=\frac{13}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi 3x - 2 = 3y - 2 = 0 tức là x = y = 2/3
Cho x,y,z là các số thực dương t/m: x+y+z=3 . Tìm min BT \(A=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\)
Cauchy ngược dấu:v
\(A\ge x\left(1-\frac{y}{2}\right)+y\left(1-\frac{z}{2}\right)+z\left(1-\frac{x}{2}\right)\)
\(=x+y+z-\frac{xy+yz+zx}{2}\ge3-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.
P/s: Ko chắc~
1. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1. TÌM GTNN của biểu thức: A=\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
2. Cho a, b,c>0 và a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức S=\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\).
3. CHo x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn đk: x+y+z≤ 6.
CM: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) ≥ \(\frac{3}{2}\).
4. Cho 4 số dương a, b,c, d . CMR \(a^4+b^4+c^4+d^4\) ≥ 4abcd.
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+y+z)\geq (1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow A.1\geq 9\Leftrightarrow A\geq 9\)
Vậy GTNN của $A$ là $9$. Giá trị này đạt được tại $x=y=z=\frac{1}{3}$
Bài 2:
Hoàn toàn tương tự bài 1
$S(a+b+c)\geq (1+1+1)^2$ theo BĐT Bunhiacopxky
$\Leftrightarrow S.3\geq 9\Rightarrow S\geq 3$
Vậy GTNN của $S$ là $3$ khi $a=b=c=1$
Bài 3:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky như các bài trên ta có:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$
Mà $0< x+y+z\leq 6$ nên $\frac{9}{x+y+z}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
Do đó $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
$a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d>0$