Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Thùy Dung

Tìm 2 số thực dương x,y thỏa mãn x+y≤1

Tìm GTNN của biểu thức: M=\(4xy+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}\)

Nguyễn Thị Ngọc Thơ
7 tháng 5 2019 lúc 20:59

\(M=4xy+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+24xy-20xy\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:

\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(\frac{3}{2xy}+24xy\ge12\)

Và: \(1\ge x+y\)

\(\Leftrightarrow1\ge\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow-20xy\ge-5\)

\(\Rightarrow M\ge4+12-5=11\)

\(''=''\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy...

Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 5 2019 lúc 20:58

\(M=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+4xy+\frac{1}{4xy}+\frac{5}{4xy}\)

\(M\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)

\(M\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}+2=\frac{9}{\left(x+y\right)^2}+2\ge\frac{9}{1}+2=11\)

\(\Rightarrow M_{min}=11\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Cao Thi Thuy Duong
Xem chi tiết
DTD2006ok
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thùy Dung
Xem chi tiết
Lê Hà My
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Neymar JR
Xem chi tiết
An Binnu
Xem chi tiết
Nguyễn Thành Phát
Xem chi tiết
Komorebi
Xem chi tiết